частоты, на которых последовательность имеет период N

[Kevsh]

1)Есть дискретная комплексная экспоненциальная последовательность $x[n]=Ae^{j(\omega_0+2\pi)n}=Ae^{j\omega_0n}e^{j2\pi n}=Ae^{j\omega_0 n}$. По ней понятно, что дискретные комплексные экспоненциальные последовательности с частотами $\omega_0$ и $\omega_0 + 2\pi r$ неразличимы между собой.
2)В случае дискретных сигналов мы можем говорить про сигнал с периодом $N$, если $x[n]=x[n+N]$. Рассмотрим всё на том же комплексном сигнале: $x[n+N]=e^{j(\omega_0 n+\omega_0 N)}$. Чтобы равенство выполнялось, достаточно, чтобы выполнялось следующее условие: $\omega_0 N=2\pi k$.

Из 2-х пунктов выше, делается вывод, что существует $N$ различных значений частоты, при которых дискретная комплексная экспоненциальная последовательность имеет период $N$, а именно $\omega_k=\frac{2\pi k}{N}$ при $k=0,1,...,N-1$. Я не до конца понять, как к этому прийти. Из второго пункта можно вывести такую формулу, но почему такое ограничение на $k$? Как первый пункт с этим связан? Можно сделать подстановку и написать, что $\omega_0+2\pi r=\frac{2\pi k}{N}$, но как это даст нужное ограничение? В моём понимании $r$ и $k$ никак не связаны.

[svv]

Имеется в виду, сколько существует различных различимых (в смысле п.1) частот $\omega$, при которых сигнал $e^{i\omega n}$ имеет период $N$.

Kevsh в сообщении #1607865 писал(а):

$\omega_k=\frac{2\pi k}{N}$ при $k=0,1,...,N-1$

Значение $k=N$ сюда уже не входит, потому что последовательности с частотами $\omega_{N}$ и $\omega_0$ неразличимы.
Значение $k=-1$ сюда тоже не входит, потому что последовательности с частотами $\omega_{-1}$ и $\omega_{N-1}$ неразличимы.

[Евгений Машеров]

Гуглите частота Найквиста-Котельникова-Шеннона (ой, Уиттекера забыл...). При N вне указанных пределов получает сигнал, неотличиный от одной из указанных частот. А в пределах - при $k=0$ константа, период которой равен не только N, но и любому числу. При $k=1$ в N укладывается ровно один период, при других значениях k - k периодов, так что мы вправе заявить, что период N, хотя это будет не наименьший период сигнала.