Экспериментальное определение связности двумерн. поверхности

[Leeb]

dgwuqtj в сообщении #1607584 писал(а):

Пространство называется $n$-связным, если все непрерывные отображения из сфер размерности $\leq n$ в него гомотопны тождественным. Ну, "стягиваются в точки".

Не тождественному, все-таки, а постоянному отображению (в точку).

Тсу давно предложил доказать, что для плоскости/сферы 5 красок всегда хватит, но что-то он не хочет. 4 краски будут неподъемными, разумеется, тут доказательства "в три строчки" не будет.

[B3LYP]

Leeb в сообщении #1607587 писал(а):

Тсу давно предложил доказать, что для плоскости/сферы 5 красок всегда хватит, но что-то он не хочет.

Я чуть поломал голову, пока доказательства не нашёл, хотя прошу прокомментировать, в верном ли направлении думаю. Возьмём тетрадь в клетку и нарисуем прямоугольник высотой в одну клетку и шириной в три клетки. Слева и справа от него нарисуем такие же прямоугольники, граничащие с ним. Сверху над ним нарисуем ещё один такой же прямоугольник, со сдвигом вправо на одну клетку, т.е. если нижний прямоугольник начинается на [4;1] (это самый левый из его квадратиков), то тот что над ним – на [5;2]. Над этим прямоугольником также рисуем ещё один чуть выше и со сдвигом (на [6;3]), и к этим последним двум также слева и справа добавляем по прямоугольнику. Вводим периодические граничные условия (PBC) по x на 9 клеток и по y на 3 клетки.
Любой прямоугольник граничит с шестью другими. Вначале надо доказать, что эти шесть прямоугольников не могут иметь одинаковый цвет. Для этого можно перебрать все комбинации. Например прямоугольник [5;2] граничит с [3;3] и [8;2]. Если бы последние два имели бы общий цвет, оказалось бы что [8;2] граничит с [11;2], который эквивалентен [2;2] за счёт PBC, и тогда получается что [2;2] и [3;3] имеют общий цвет, а они друг с другом граничат. И так далее можно всё перебрать. Так вот, если убрать PBC, то это рассуждение теряет силу.
Пока это не доказывает что без PBC можно обойтись четырьмя картами в любом варианте разграничивания, кроме того без PBC получается рассуждение для плоскости, а наверно ни для сферы. Может я глупость пишу, но нет ли такого, что сфера эквивалентна PBC только в одном направлении, например по X? Это как в игре Civilization – направо и налево вернёшься в исходную точку, а наверх и вниз нельзя.

[Leeb]

B3LYP в сообщении #1607850 писал(а):

Leeb в сообщении #1607587 писал(а):

Тсу давно предложил доказать, что для плоскости/сферы 5 красок всегда хватит, но что-то он не хочет.

Я чуть поломал голову, пока доказательства не нашёл, хотя прошу прокомментировать, в верном ли направлении думаю. Возьмём тетрадь в клетку и нарисуем прямоугольник высотой в одну клетку и шириной в три клетки. Слева и справа от него нарисуем такие же прямоугольники, граничащие с ним. Сверху над ним нарисуем ещё один такой же прямоугольник, со сдвигом вправо на одну клетку, т.е. если нижний прямоугольник начинается на [4;1] (это самый левый из его квадратиков), то тот что над ним – на [5;2]. Над этим прямоугольником также рисуем ещё один чуть выше и со сдвигом (на [6;3]), и к этим последним двум также слева и справа добавляем по прямоугольнику. Вводим периодические граничные условия (PBC) по x на 9 клеток и по y на 3 клетки.
Любой прямоугольник граничит с шестью другими. Вначале надо доказать, что эти шесть прямоугольников не могут иметь одинаковый цвет. Для этого можно перебрать все комбинации. Например прямоугольник [5;2] граничит с [3;3] и [8;2]. Если бы последние два имели бы общий цвет, оказалось бы что [8;2] граничит с [11;2], который эквивалентен [2;2] за счёт PBC, и тогда получается что [2;2] и [3;3] имеют общий цвет, а они друг с другом граничат. И так далее можно всё перебрать. Так вот, если убрать PBC, то это рассуждение теряет силу.
Пока это не доказывает что без PBC можно обойтись четырьмя картами в любом варианте разграничивания, кроме того без PBC получается рассуждение для плоскости, а наверно ни для сферы. Может я глупость пишу, но нет ли такого, что сфера эквивалентна PBC только в одном направлении, например по X? Это как в игре Civilization – направо и налево вернёшься в исходную точку, а наверх и вниз нельзя.

Каково назначение вашей конструкции? Вам не нужно придумывать карты, вам нужно доказать, что для любой наперед заданной карты на плоскости всегда можно покрасить ее области в 5 цветов так, чтобы области, имеющие общий участок границы, имели бы разный цвет. Вместо карт можно рассматривать раскраски вершин графов, уложенных на плоскости, чтобы вершины графов, соединенных ребром, имели бы разный цвет, т.к. между такими графами (планарными) и плоскими картами со связными областями есть очевидное взаимно-однозначное соответствие.