Два квантора единственности

[gefest_md]

Вопрос: как перевести на язык обычных кванторов выражение $\exists!x\exists!y P(x,y)$?
Я рассматриваю два варианта, но у меня не выходит показать, что они равносильны. Первый - выразить сначала внутренний квантор, затем внешний. Второй такой:

$\exists x\exists y P(x,y),$

$\forall x_1\forall x_2\forall y_1\forall y_2(P(x_1,y_1)\And P(x_2,y_2)\Rightarrow x_1=x_2\And y_1=y_2).$

Второй предпочтительнее, так как с его помощью получаются доказательства. Но чувство неудовлетворённости остаётся.

[dgwuqtj]

Возьмём в качестве $P$ предикат $\leq$ на множестве $\{1, 2, 3\}$. Ваше исходное высказывание будет верно (только при $x = 3$ существует единственный $y \geq x$). А вот вторая переформулировка явно неверна.

[gefest_md]

dgwuqtj, спасибо за ободряющий пример. Вопрос у меня возник, читая в одном учебнике про прямую сумму подпространств. Там пишут $\exists! x_F\in F\exists! x_G\in G\ \ x=x_F+x_G.$ Возможно надо $\exists!\left(x_F,x_G\right)\in F\times G\ \ x=x_F+x_G?$

[dgwuqtj]

Да, конечно, надо именно так.

[EminentVictorians]

gefest_md в сообщении #1607690 писал(а):

Вопрос: как перевести на язык обычных кванторов выражение $\exists!x\exists!y P(x,y)$?
Я рассматриваю два варианта, но у меня не выходит показать, что они равносильны. Первый - выразить сначала внутренний квантор, затем внешний.

Да, это двусмысленная запись.
Первый смысл: "Существует единственный икс, для которого существует единственный игрек, такие, что $P(x, y)$".
Второй смысл: "Существует единственная пара $(x, y)$ такая, что $P(x, y)$"
То, что не получается показать равносильность - ожидаемо. Ее и нету.

dgwuqtj в сообщении #1607696 писал(а):

Возьмём в качестве $P$ предикат $\leq$ на множестве $\{1, 2, 3\}$. Ваше исходное высказывание будет верно (только при $x = 3$ существует единственный $y \geq x$).

Лучше взять $<$. Вы правы, с точки зрения первого "смысла" высказывание будет верным: существует единственный $x$ ($=2$), для которого существует единственный $y$ ($=3$) такие, что $x < y$ (для $x = 1$ таких игреков 2 штуки, а для $x = 3$ - ни одного). С т.з. второго "смысла", очевидно, будет неверным.
Upd. Ваш вариант с тройкой и $\leq$ тоже, разумеется, правильный. Просто чуть менее наглядный (больше думать надо :) )

gefest_md в сообщении #1607703 писал(а):

Возможно надо $\exists!\left(x_F,x_G\right)\in F\times G\ \ x=x_F+x_G?$

Да.