Точки и прямая на плоскости

[EUgeneUS]

worm2
Решение в ролике практически такое же. Только финальная часть отличается.

Рассматривается поворот прямой на $180$ градусов.
Тогда для нечетного $n$ всё получается моментально:
1. Проводим прямую так, чтобы справа и слева было одинаковое количество точек.
2. Тогда после поворота на $180$ градусов прямая обязана пройти через начальную точку.
3. А это значит, что все остальные точки "поменяли цвет". А значит прямая проходила через них.

Для четного $n$ нужно ещё одно небольшое приседание.

[manul91]

EUgeneUS в сообщении #1607208 писал(а):

АФАИР, правилами запрещено посылать задачи из конкурсов\олимпиад, которые действуют в данный момент.
В остальных случаях - можно, и в каким-то смысле нужно.

Понял, сознательно я и так этого делать не стал бы.

worm2 в сообщении #1607276 писал(а):

Но оно довольно "тяжеловесное", насыщенное математикой. То есть по критериям "не нужно особенно знать математику" и "считать ничего не нужно, всё в уме" не очень-то подходит.

Это и есть решение (хотя его можно было бы сформулировать проще).
В защиту критериям: по идее здесь математика не более чем для начальных классов (счет натуральных чисел): ключевой момент - догадаться про наличие инварианта движения - заметить что в данном процессе к-во точек по "обоих сторон" прямой (если ей дать "направление" - то условно в "левой" и "правой" полуплоскости) остается одинаковым. И, как вы заметили, если в начале прямая разсекает точек "поровну" ("грубо говоря", если строго то четного и нечетного случая нужно рассмотреть отдельно) - то после поворота на 180 она опять будет рассекать их "поровну" т.е. все точки обязаны перейти так или иначе, с одной на другой стороне.
Про "считать ничего не нужно, всё в уме" - это "в принципе и в идеале" для задач "данного типа" (чем "меньше писать и считать и чем меньше продвинутых знаний нужно" - а только "гениальной догадки" - тем задача "лучше") - и разумеется, все-таки относится в разной степенью к разных задач. Для эту я сказал только что "решение простое и элегантное". Разумеется, рисовать точки и прямые тут (хотя инвариант и следует прямо из правил движения, без никаких рисунков) - имхо уж просто по-человечески нужно - чтобы "нащупать" само наличие инварианта.

[TOTAL]

manul91 в сообщении #1606784 писал(а):

Требуется доказать, что:
Для любого количества $N$ точек в любом расположении (единственное ограничение - никакие три из точек не лежат на одной прямой - чтобы процесс был однозначным) - всегда найдется такая "начальная" точка $P$ и такое "начальное" направление прямой $L$ - что при вращении прямая перейдет через всех точек.

В видео требуется доказать другое. Требуется доказать, что при вращении прямая перейдет через каждую точку бесконечно много раз.

[mihaild]

TOTAL в сообщении #1607287 писал(а):

В видео требуется доказать другое

Поскольку у каждого состояния (опорная точка, прямая) ровно один предок и ровно один потомок, то мы всегда приходим в исходное состояние, а значит это одно и то же.

[manul91]

TOTAL в сообщении #1607287 писал(а):

В видео требуется доказать другое.

Про никаких "видео" ничего не знаю, задачу привел так как мне ее сказали

[EUgeneUS]

manul91 в сообщении #1607291 писал(а):

Про никаких "видео" ничего не знаю,

Ссылку на видео с решением задачи публиковали на первой странице обсуждения.