Вопрос по мотивам этой
темы.
Условие задачи :
Цитата:
Отрезок
![$[0;1]$ $[0;1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/a/21ad730ee7df0b97abd700cb0f8426e682.png)
разбит двумя случайными точками на три части. Найдите математическое ожидание длины меньшей из частей.
Я бы хотел пройти по пути вот этого решения, оно мне кажется таким, что могло бы придти мне в голову :
Речь идёт о второй порядковой статистике из трёх спейсингов:

,

,

. Спрашивается о матожидании

- второй порядковой статистики.
У меня получилось

, но очень кривым путём: я нашла распределения длин минимального и максимального из отрезков

и

и их матожидания

и

соответственно, а затем вычла всё из единицы. Функции распределения

и

следующие:
![$$
F_{l_{(1)}}(t)=(1-3t)^2, \ t\in[0,1/3], \quad F_{l_{(3)}}(t)=\begin{cases}(3t-1)^2, & t\in[1/3,\,1/2],\cr 1-3(1-t)^2, & t\in[1/2,\,1]\end{cases}
$$ $$
F_{l_{(1)}}(t)=(1-3t)^2, \ t\in[0,1/3], \quad F_{l_{(3)}}(t)=\begin{cases}(3t-1)^2, & t\in[1/3,\,1/2],\cr 1-3(1-t)^2, & t\in[1/2,\,1]\end{cases}
$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/e/5/ae53855245d8ff0f0593d8a30febfce482.png)
Но единственный застрявший у меня в голове способ нахождения
![$\mathbb{E}[l_{(1)}]$ $\mathbb{E}[l_{(1)}]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/8/c/d8ce263e8f42d7f92449648611f41b1f82.png)
это найти функции распределения

и по ним искать функцию распределения

. Но так не получается, потому что

зависимые случайные величины и в нужный момент не получится написать
![$\mathbb{P}[l_1 > t, l_2 > t, l_3 > t] = \mathbb{P}[l_1 > t] \cdot \mathbb{P}[l_2 > t] \cdot \mathbb{P}[l_3 > t]$ $\mathbb{P}[l_1 > t, l_2 > t, l_3 > t] = \mathbb{P}[l_1 > t] \cdot \mathbb{P}[l_2 > t] \cdot \mathbb{P}[l_3 > t]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/9/7/497f7a70d4a6ee1eace106d47446b61e82.png)
.
Как по другому подступиться к нахождению распределения
