Распределение скоростей из распределения плотности.

[panickyClam2]

Пусть у меня есть массы $m$ очень маленькая частица, которая летит с постоянной маленькой скоростью $\vec{v}$.

Её траектория $\vec{X}(t) = \vec{v}t$
Получить её скорость (от времени), легко, это $\vec{X'_t}(t) = \vec{v}$

Распределение её плотности будет $m\delta(\vec{x} - \vec{v}t)$.
Но вот распределение её скорости не будет (по аналогии), $ -m \vec{v}\delta'(\vec{x} - \vec{v}t)$.
Вернее, продифференцировать так можно, и это будет "приращение плотности в точке $x$, в момент времени $t$, что тоже не бесполезное распределение (типа, поток массы, что ли?), но не является тем, что хочется найти.

Искомое распределение, очевидно, $\delta(\vec{v} - \vec{v_0})$, не зависящее от времени.
(Можно также в виде импульса записать m $\delta(\vec{v} - \vec{v_0})$)
Но я что-то сходу не понимаю, как его получить, хотя вся информация, на первый взгляд, содержится в функции распределения.
(Вероятно, нужно ещё добавить какое-то условие на неразрывность "капли".)

[amon]

panickyClam2 в сообщении #1606435 писал(а):

Но я что-то сходу не понимаю, как его получить

Чтобы не переписывать учебник - почитайте параграф 6 Климонтовича "Статистическая физика". Если после этого возникнут вопросы - спрашивайте, не стесняйтесь.

[zykov]

panickyClam2 в сообщении #1606435 писал(а):

хотя вся информация, на первый взгляд, содержится в функции распределения.

Нет, не содержится.
Она там наоборот - потеряна.

Более полная информация - распределение в фазовом пространстве (по простантсву и по импульсу).

[panickyClam2]

Цитата:

Чтобы не переписывать учебник - почитайте параграф 6 Климонтовича "Статистическая физика". Если после этого возникнут вопросы - спрашивайте, не стесняйтесь.

Классная книга! Спасибо! А, не сочтите за наглость, не знаете ли вы, где добыть английское издание от Harwood? Уж больно скан русского на либгене неприятный.

Цитата:

Нет, не содержится.
Она там наоборот - потеряна.

Более полная информация - распределение в фазовом пространстве (по простантсву и по импульсу).

Что-то мне сомнительно o_0. То есть, мне известно, что в уравнения Гамильтона записываются от переменных $x$ и $p$, однако мне всегда казалось, что это из-за "физических" принципов, а не "математических", ведь эти уравнения, как бы не независимы, $p(t) = mx'_t(t)$. То есть, если распределение записано только от координаты $\rho(\vec{x})$, то да, информации недостаточно. В моём же случае плотность (вероятности) известна в любой момент времени. Но, возможно, я почитаю учебник и пойму, где неправ.

Пока что, из "кухонных" соображений мне пришло в голову, что в моём исходном посте есть ошибка. Ведь распределение $x$ будет не $\delta(\vec{x} - \vec{v_0}t)$, а $\vec{x}\delta(\vec{x} - \vec{v_0}t)$.

Ладно, пойду читать учебник.

[panickyClam2]

Цитата:

Если после этого возникнут вопросы - спрашивайте, не стесняйтесь.

Не, честно говоря, я как-то прочитал 6,7,8 параграфы, и не очень понял содержание. :(

Но по ходу мне пришла в голову идея расписать формулу распределения $v$ "по определению".

Ведь что такое $P(v=v_1)$? Это двойной интеграл по всем $x(t)$ и $x(t+dt)$ (просто по определению).

Запишем $P(v) = \int_{\vec{x}\in H} \delta(\vec{x} - \vec{v_0}t) \int_{\vec{v}} \delta(\vec{x} - \vec{v_0}t - \vec{v}t) d\vec{v} d\vec{x}$

Далее, по идее, можно по Теореме Фубини эти два интеграла поменять местами, и интеграл по $\vec{v}$ отбросить, потому что нам интересна не конкретная скорость, а распределение.

Дальше надо как-то убедить себя в двух вещах: (1) в том, что две дельты можно перемножить, и (2) полученное выражение будет более-менее применением оператора $\frac{d}{dx}$

[dgwuqtj]

Если ваша частица будет неподвижной и вращаться, то распределение плотности от времени не зависит, а вот распределение импульса будет нетривиальным. Так что фазовое пространство всё-таки нужно.

[amon]

panickyClam2 в сообщении #1606607 писал(а):

Не, честно говоря, я как-то прочитал 6,7,8 параграфы, и не очень понял содержание.

Печально. Тем не менее, сделаю попытку.
1. Ваше $P(v) = \int_{\vec{x}\in H} \delta(\vec{x} - \vec{v_0}t) \int_{\vec{v}} \delta(\vec{x} - \vec{v_0}t - \vec{v}t) d\vec{v} d\vec{x}$ - полная ерунда. Если под $\delta(\vec{R})$ понимать $\delta(R_x)\delta(R_y)\delta(R_z),$ то получится, что Ваше $P(v) =\frac{1}{|t|^3}$ (переставлять порядок интегрирования нельзя, иначе совсем бред получится). Вопрос на засыпку - как это получается?
2. Упражнения с одной частицей ясности точно не добавляют. Пусть частиц $N.$ Что мы получим при интегрировании по $dx$ по малому, но конечному объему $\Delta V,$ величины $\sum_{i=1}^N\delta(x-x_i(t))?$ Если хочется, можете считать, что $x_i(t)=v_i t.$

[panickyClam2]

Цитата:

Печально. Тем не менее, сделаю попытку.

Благодарю! Я ещё раз перечитаю, такие знания не моментально входят в голову. Но проблема с учебниками (даже очень хорошими) в том, что они плохо помогают развеять "затыки".
Хорошо, когда логика учебников совпадает с образом мышления студента, но так бывает не всегда.
У меня "затык", грубо говоря, в том, чтобы понять, почему в "классическом" случае работает ньютоновская механика, и знания траектории достаточно для полного описания системы, включая скорость, а в "статистическом" случае нет, и требуется вторая половина уравнений в гамильтониане.

Цитата:

1. Ваше $P(v) = \int_{\vec{x}\in H} \delta(\vec{x} - \vec{v_0}t) \int_{\vec{v}} \delta(\vec{x} - \vec{v_0}t - \vec{v}t) d\vec{v} d\vec{x}$ - полная ерунда. Если под $\delta(\vec{R})$ понимать $\delta(R_x)\delta(R_y)\delta(R_z),$ то получится, что Ваше $P(v) =\frac{1}{|t|^3}$ (переставлять порядок интегрирования нельзя, иначе совсем бред получится). Вопрос на засыпку - как это получается?

Я перечитал ещё раз, и конечно, я совсем глупость написал. Конечно, никакой интеграл по $\vec{v}$ не нужен. Я написал что-то про модуль скорости, что не очень полезное знание. Если действовать "по определению", то надо для каждой точки $\vec{x}$ рассмотреть вероятность, что частица сдвинется на вектор $\vec{v}$ из этой точки. То есть $\int_{\vec{x}} \delta(\vec{x} - \vec{v_0}t)\cdot \delta(\vec{x} + \vec{v}dt - \vec{v_0}(t+dt) d\vec{x})$, опять же, перемножение дельт -- это плохо определённая операция, но в данном случае, вроде как, существует "часто встречающийся" переход $\int_z dz \delta(z -x ) \delta(z-y) = \delta(x - y )$, то есть, в моём случае $\delta( \vec{v}dt - \vec{v_0}dt)$. Приятно, что $x$ ушёл, как и положено в ответе, под который хочется подогнать, но неприятно, что где-то я забыл поделить на $dt$.

При этом, вроде бы, написав под знаком дельты $vdt$, я незаметно для себя применил явный вид для импульса? То есть, просто ответ подставил в условие? Как-то это плохо. А с другой стороны, я не очень понимаю, а как может выглядеть другое условие на импульс (скорость), если не $dx=vdt$.

Цитата:

2. Упражнения с одной частицей ясности точно не добавляют. Пусть частиц $N.$ Что мы получим при интегрировании по $dx$ по малому, но конечному объему $\Delta V,$ величины $\sum_{i=1}^N\delta(x-x_i(t))?$ Если хочется, можете считать, что $x_i(t)=v_i t.$

А что такое $\Delta V,$ в таком случае? Если у нас $N.$ частиц, то скорость -- это не $V\in \mathbb{R}^3$, а $V \in \mathbb{R}^{3N}$. Но, наверное, можно задаться вопросом "сколько частиц летит в направлении $\vec{V}$, тогда скорости становятся "независимыми", и произведение вероятностей переходит в сумму. Получается величина "количество частиц в точке $x$, летящее в направлении $V$. $\sum_{i=1}^N \delta(x - x_i(t))\cdot I[x'(t) \in V] $.

Что-то я плохо понял ваш наводящий вопрос.

[amon]

panickyClam2 в сообщении #1606746 писал(а):

Что-то я плохо понял ваш наводящий вопрос.

Спрошу в лоб. Чему равен одномерный интеграл

$$P(vt)=\int\limits_{a}^{b}\delta(x-vt)dx?$$

[panickyClam2]

amon в сообщении #1606760 писал(а):

panickyClam2 в сообщении #1606746 писал(а):

Что-то я плохо понял ваш наводящий вопрос.

Спрошу в лоб. Чему равен одномерный интеграл

$$P(vt)=\int\limits_{a}^{b}\delta(x-vt)dx?$$

Единице, если $ a < vt < b$, иначе нулю, или, наукообразно,

$$\theta(vt - a)\theta(b - vt).$$

[amon]

panickyClam2 в сообщении #1606762 писал(а):

Единице, если $ a < vt < b$, иначе нулю

Гениально! А

$$\int\limits_{a}^{b}\sum_{i=1}^N\delta(x-x_i(t))dx?$$

(Тоже пока одномерный.)

[panickyClam2]

Сумму и интеграл можно поменять местами. Значит, $\sum_{i=1}^N \theta(x_i(t) - a) \cdot \theta(b-x_i(t))$.

Какой из этого надо сделать вывод?

[amon]

panickyClam2 в сообщении #1606778 писал(а):

Какой из этого надо сделать вывод?

Получилось какое-то целое число. Так на человеческом языке это что?

[panickyClam2]

Число частиц в некотором объёме$(a,b)$ в момент времени $t$.

[amon]

panickyClam2 в сообщении #1606787 писал(а):

Число частиц в некотором объёме$(a,b)$ в момент времени $t$.

Бинго! То есть, $m\delta(\vec{x} - \vec{v}t)$ вовсе не распределение плотности (вероятность), а просто микроскопическая плотность массы $\rho(x,t)$ (настоящая, без всякого усреднения) для случая одной частицы, а $\delta(\vec{x} - \vec{v}t)$ - это плотность числа частиц для случая, когда частица ровно одна. Аналогично, плотность импульса (настоящая) будет $\sum_{i=1}^N p_i\delta(x-x_i(t))dx.$ Все это к распределениям, понимаемым как вероятность найти что-то где-то, имеет опосредованное отношение. Что-нибудь прояснилось?