Топологическое доказательство бесконечности простых чисел

[Gargantua]

Здравствуйте. Натолкнулся на красивое доказательство бесконечности простых чисел, использующее топологию на $N$. Рассуждение следующее.

Цитата:

В $N$ вводим базу топологии, состоящую из всех бесконечных арифметических прогрессий, состоящих из натуральных чисел. Замечаем, что множества $\{i,i+d,i+2d,...\}, i=1,...,d$ открыты, попарно не пересекаются и покрывают $N$, поэтому каждое из них замкнуто. В частности, замкнуты прогрессии вида $\{p,2p,3p,...\}$, где $p-$ простое число. Множества $\{p,2p,3p,...\}$ образуют покрытие множества $N\setminus\{1\}$. И если бы простых чисел было конечное число, то множество $\{1\}$ оказалось бы открытым, противоречие.

Меня беспокоит место, в котором говорится о покрытии $N\setminus\{1\}$ множествами вида $\{p,2p,3p,...\}$. Насколько я понял, здесь используется основная теорема арифметики, так как в множестве $\{p_1,2p_1,3p_1,...\}$ присутствуют все числа вида $p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}... p_n^{\alpha_n}, \alpha_1 \geqslant 1, \alpha_i \geqslant 0, i=2,...n $ и отсюда понятно, почему покрывают. Но из основной теоремы арифметики непосредственно следует бесконечность простых чисел: достаточно взять число $p_1\cdot p_2\cdot ...\cdot p_n+1$, которое должно факторизоваться на простые, но не делится ни на одно из чисел $p_i$, а значит само простое.
Можно ли в топологическом доказательстве доказать покрытие множества $N\setminus\{1\}$, не ссылаясь на основную теорему арифметики или эквивалентные ей по силе утверждения?

[mihaild]

Основная теорема арифметики не нужна, достаточно существования у любого числа простого делителя, что следует из упорядоченности $\mathbb N$ - возьмем наименьший делитель, больший $1$.

Мне скорее непонятно, как получено, что $\{1\}$ не является открытым множеством.

[Gargantua]

mihaild
Спасибо. Действительно.
Открытость $\{1\}$ следовала бы из замкнутости конечного объединения замкнутых множеств и определения открытого множества как дополнения замкнутого: $\cup_i \{p_i,2p_i,3p_i,...\} = N\setminus\{1\}$
Ну а $\{1\}$, очевидно, не является бесконечной прогрессией, понимая под этим бесконечность множества.

[mihaild]

Я понимаю, почему если простых чисел конечно, то $\{1\}$ открыто. Я не понимаю, почему очевидно, что $\{1\}$ не открыто в топологии, заданной той базой.

[Mikhail_K]

mihaild в сообщении #1606474 писал(а):

Я понимаю, почему если простых чисел конечно, то $\{1\}$ открыто. Я не понимаю, почему очевидно, что $\{1\}$ не открыто в топологии, заданной той базой.

ТС ответил:

Gargantua в сообщении #1606472 писал(а):

Ну а $\{1\}$, очевидно, не является бесконечной прогрессией, понимая под этим бесконечность множества.

То есть стационарные последовательности он не включает в базу. Критерий базы при этом выполняется. Таким образом, любой элемент базы есть бесконечное подмножество $\mathbb{N}$ (достаточно даже того, что любой элемент базы состоит более чем из одного числа), а значит то же самое справедливо и для любого непустого открытого множества.

[mihaild]

А, я забыл определение базы:) Ну тогда нужно доказывать, что арифметические прогрессии это база топологии.