Диференциал триноги

[Nartu]

Я когда-то давно смотрел ознакомительные видеоуроки по топологии, группам и алгебраической топологии от Павла Шестопалова.
Когда речь пошла о цепных комплексах, было оговорено об отображениях в них - диференциалах. Был пример: $\partial_1(e_1)= -v_1+v_2$, где ребро $e$ ориентировано от $v_1$ к $\;v_2$ и являлось частью простого симплициального пространства из двух рёбер с общей вершиной.
$\partial_1$ на всём пространстве связной пары рёбер должен дать линейную комбинацию вершин рёбер, но без той, кто посередине. Отображение выше всё делает правильно, ещё и вид границы для суммы, скажем $\;e_1+e_2$, будет иметь тот же вид : $-v_1+v_3$

И вот я решил попробовать иные пространства. И захотелось построить ещё одно ребро от точки "склеивания". Вот так, примерно:

$\xymatrix{ &&\mathsf{v_3}&&\\ &&\mathsf{v_2}\ar[u]^{e_2}\ar[rd]^{e_3}&&\\ &\mathsf{v_1}\ar[ur]^{e_1}&&\mathsf{v_4}&}$

(тринога какая-то)

И вот, сколько я тогда не мучился, нормального отображения для $\partial_1$ не получил. Если взять такую формулу для ребра $\partial_1(e_1)= -v_1+2v_2$, то сумма всех трёх работает, а суммы пар рёбер $-$ нет, но с подбором знаков и ориентаций формула работать будет, не всегда, но можно найти примеры. А этого мало... плюс вид границы для рабочих сумм двух рёбер отличается от формулы для одного, но это наверняка, так и должно быть.
Вообще, Какой же тут диференциал на самом деле?!
Гомологии должны быть нулевые $-$ циклов же нет. Да и пространство стягиваемо. Сам цепной комплекс, вот:

$0\to\mathbb{Z}^3\to\mathbb{Z}^4\to0$

Сомнительно выглядит. Неужели с целыми числами тут не получится? Ну вроде бы, если считать гомологии, то фактор тривиальной группы по тривиальной тоже тривиальная... В таком случае гомологии ну как-бы те же, всё правильно...

[Leeb]

Не совсем понятен вопрос. У вас имеется одномерный симлициальный комплекс, дифференциал каждого ребра задается как $\partial_1 e_1 = v_2 - v_1$ (любые симплексы в симплициальном комплексе естественно ориентированы), аналогично для других. Это по определению симплициальных гомологий. Цепной комплекс у вас выписан правильно, но все гомологии не должны быть нулевыми и не будут, т.к. $H_0(trenoga) = <v_1,v_2,v_3,v_4>/<v_2-v_1, v_3-v_2, v_4-v_2> \cong \mathbb{Z}$, а $H_1 = 0$, конечно же, т.к. нет одномерных циклов нет, как вы заметили, поэтому ядро $\partial_1$ тривиально.

[Nartu]

Но тогда искомый диференциал не будет давать геометрический смысл возвращения границы. Точка посередине не всегда граничная, и такой входит в несколько образов.
Так правда должно быть?

Ну и да, как же так может быть, что у связного пространства $H_0$ тривиальны? А то уже и забыл о них...

[Leeb]

Так точка посередине ($v_2$) и не входит в границу, она исключается из соотношений (т.к. остальные выражаются через нее) и порождает группу нулевых гомологий.

Кстати, $H_0$ всегда нетривиальна, если пространство несвязно, то это лишь увеличивает группу $H_0$. Можно только условно сказать, что $H_0(\emptyset)=0$, но для всего остального никогда не ноль.

[Nartu]

Агааааа, так вот оно как... но что-то мне не так очевидно.

Leeb в сообщении #1605916 писал(а):

точка посередине ($v_2$) и не входит в границу, она исключается из соотношений (т.к. остальные выражаются через нее)

вот это вот.

Вопросы:
Какие соотношения?, и
Как "остальные выражаются через нее"?

порождение нулевых гомологий.. вроде на неё можно ретрагировать. Однако мне кажется возможным стянуть комплекс на граничную точку. Правда тогда остальные 2 ноги должны через 1 точку с двух сторон проталкиваться, и это.. это и есть препядствие? Что так нельзя, правда?

[Leeb]

В прошлом посте я выразился немного неточно - $v_2$ действительно порождает $H_0$, но фразу "так она и не входит в границу" лучше бы я не произносил.
Точнее будет так: вообще непонятно, что такое "геометрический смысл границы" в нулевых гомологиях. Формально понятно что им должно было бы быть, но между вот этими тремя "крайними точками" есть связь, которая позволяет выразить одну через другую, или все через $v_2$, т.к. любые из этих точек отличаются на одномерный цикл.

Другими словами, что вообще такое целочисленные гомологии $H_n$? Это фактор $\ker\partial_n / \operatorname{Im}\partial_{n+1}$. Определяется дифференциал в симплициальных гомологиях сначала на $n$-мерном симплексе разбиения $K$ как $\partial_n K = \displaystyle\Sum\limits_{i=0}^k (-1)^i K|_{[0,1,...,\hat{i},...,n ]}$, т.е. сумма с переменным знаком по граням симплекса, лежащим напротив пропущенной вершины. Для суммы симплексов распространяется по линейности. Т.е., например, $\partial_1(0,1) = (1) - (0),\ \partial_2(0,1,2) = (1,2)-(0,2)+(0,1)$. Сумма именно такая поскольку порядок вершин на симплексе естественно задает ориентацию его граней и таким образом, знаки в этой формуле. Можно проверить прямым вычислением, что это действительно дифференциал, т.е. что $\partial_{n-1}\circ\partial_n = 0$. И дальше уже вычислять гомологии.

Распишу наш случай подробнее. Имеем одномерный симплициальный комплекс с вершинами $v_1,v_2,v_3,v_4$ и ребрами $v_1v_2 := p,v_2v_3:=q, v_3v_4:=r$. Посчитаем прямо его гомологии. Группа $C_0$ порождена вершинами $\langle v_1,v_2,v_3,v_4 \rangle$, группа $C_1$ - ребрами $\langle p,q,r\rangle$. Теперь считаем граничные гомоморфизмы: $\partial_0 (v_i) = 0, \partial_1 p = v_2-v_1, \partial_1 q = v_3-v_2, \partial_1 r = v_4-v_2$. Отсюда $\ker\partial_0 = \langle v_1,v_2,v_3,v_4\rangle$, $\operatorname{im}\partial_1 = \langle v_2-v_1,v_3-v_2,v_4-v_2 \rangle$, значит, гомологии в нулевой градуировке равны $H_0= \langle v_1,v_2,v_3,v_4\rangle / \langle v_2-v_1,v_3-v_2,v_4-v_2 \rangle$. Фактор означает наличие соотношений, зануляющих то, по чему мы факторизуем, поэтому это эквивалентно записи в виде образующих и соотношений, где образующие это $v_1,v_2,v_3,v_4$, а соотношения $v_2-v_1=0, v_3-v_2=0,v_4-v_2=0$ (Если бы группа, которую мы факторизуем, была бы несвободной, то мы бы просто к ее соотношениям добавили эти, по сути ситуация бы ничем не отличалась). Т.е. $H_0 = \langle v_1,v_2,v_3,v_4 \mid v_2-v_1=0, v_3-v_2=0,v_4-v_2=0\rangle$, откуда уже вроде бы совсем очевидно, что $H_0 \cong \mathbb{Z}$ и в качестве образующей можно взять любую из $v_1,v_2,v_3$ или $v_4$, все равно они связаны соотношением.
Давайте так же вычислим и $H_1$: $\operatorname{Im}\partial_2 = 0$, т.к. нет симплексов размерности 2 (и выше тоже нет, поэтому гомологий $H_2$ и старше не будет), ищем $\ker\partial_1$. Для этого просто записываем $0 = \partial_1(ap+bq+cr) = a(v_2-v_1)+b(v_3-v_2)+c(v_4-v_2)$ и пытаемся найти такие коэффициенты, при которых равенство верно. Но очевидно, что такого равенства при ненулевых $a,b,c$ не будет, т.к. как минимум $v_1$, $v_3$ и $v_4$ не сократятся никогда. Значит, $\ker\partial_1 = 0$ и $H_1 = 0/0 = 0$.

-- 25.08.2023, 10:26 --

Что касается ретракций и гомотопических эквивалентностей - да, стягивание в точку любого ребра будет и ретракцией на остаток, и даже гомотопической эквивалентностью (кстати, вы умеете это доказывать?), но чтобы этим пользоваться сначала нужно доказать гомотопическую инвариантность симплициальных гомологий, а это непростая теорема (даже инвариантность относительно гомеоморфизма уже непросто).