Парадокс?

[Z.S.]

Пусть, относительно инерциального наблюдателя, в пустоте, равномерно и прямолинейно, с нерелятивистской скоростью $\bar{\upsilon }$, движется легкая тонкостенная сферическая оболочка. Оболочка заполнена электромагнитным излучением. Поверхность оболочки идеально отражает излучение. Нас интересует импульс оболочки с излучением. Т.к. импульс системы зависит как от временных так и от пространственных компонент ТЭИ, то импульс оболочки с излучением вычисляем как

$\bar{P}_1=M\bar{\upsilon }=(m_{\varepsilon }^{emi}+m_{\sigma }^{emi}+m_{\varepsilon }^ {mat}+m_{\sigma }^{mat})\bar{\upsilon }=(m_{\varepsilon }^{emi}+m_{\varepsilon }^{mat})\bar{\upsilon }\;\;\;(1)$

Для давления излучения известно

$p=\frac{\varepsilon }{3}\;\;\;(2) $

Инертная масса излучения связанная с энергией излучения

$m_{\varepsilon }^{emi}=\frac{E_{emi}}{c^{2}}\;\;\;(3) $

Инертная масса излучения связанная с давлением излучения

$m_{\sigma }^{emi}=\frac{m_{\sigma }^{emi}}{3}= \frac{1}{3}\frac{E_{emi}}{c^{2}}\;\;\;(4) $

Инертная масса излучения суммарная

$m^{emi}=m_{\varepsilon }^{emi}+m_{\sigma }^{emi}=\frac{4}{3}\frac{E_{emi}}{c^{2}} \; \;\;(5) $

Под действием давления излучения, в сферической оболочке возникнут напряжения, такие, что для инертной массы оболочки связанной с напряжениями в оболочке, выполняется условие

$m_{\sigma }^{mat}=-m_{\sigma }^{emi}=-\frac{1}{3}\frac{E_{emi}}{c^{2}} \; \;\;(6) $

Т.о., избыточная инертность электромагнитного излучения, заполняющего оболочку, компенсируется инертной массой, связанной с напряжениями в оболочке. Отсюда, инертная масса, связанная с напряжениями в оболочке, будет отрицательной.

Представим теперь, что достаточно быстро ( идеализируем ситуацию) за промежуток времени $t_2- t_1$ стенка оболочки стала абсолютно прозрачной для излучения, и соответственно перестала быть подвержена действию давления излучения. "Достаточно быстро" здесь означает, что расстояние , на которое частицы удалятся от стенки за промежуток времени $ t_2- t_1$ , намного меньше радиуса оболочки.Исходя из сказанного (с учетом тонкостенности оболочки), можно полагать, что за вышеуказанный промежуток времени $t_2- t_1$, напряжения в оболочке, вызванные давлением излучения - исчезнут.

Тогда, импульс оболочки с излучением, существующий в момент времени $t_2$, вычисляем как

$\bar{P}_2=(m_{\varepsilon }^{emi}+m_{\sigma }^{emi}+m_{\varepsilon }^{mat})\bar{\upsilon }\; \;\;(7) $

В итоге, разница между импульсом системы на момент времени $t_2$, и импульсом в момент времени $t_1$, составит

$\bar{P}_2-\bar{P}_1=m_{\sigma }^{emi}\bar{\upsilon }=\frac{1}{3}\frac{E_{emi}}{c^{2}}\bar{\upsilon }>0\; \;\;(8) $

Т.о. , образовался избыток импульса на момент времени $t_2$, по сравнению с величиной импульса в момент времени $t_1$.
Закон сохранения импульса такого безобразия не допускает.
Парадокс?
И как его разрешить?

[sergey zhukov]

Z.S.
Импульс излучения, которое распространяется по ходу движения сферы, больше импульса излучения, распространяющегося в обратную сторону. После того, как стенки сферы стали прозрачными, "центр тяжести" системы стал двигаться быстрее центра сферы.

[Z.S.]

Импульс должен сохраняться. Видимо, для корректного описания физической ситуации, необходимо учитывать относительность одновременности.

[realeugene]

Z.S. в сообщении #1606102 писал(а):

Исходя из сказанного (с учетом тонкостенности оболочки), можно полагать, что за вышеуказанный промежуток времени $t_2- t_1$, напряжения в оболочке, вызванные давлением излучения - исчезнут.

Упругая энергия деформации оболочки куда денется?

[Z.S.]

realeugene в сообщении #1606310 писал(а):

Упругая энергия деформации оболочки куда денется?

Не принципиально.
Нет смысла учитывать её в данной задаче, т.к инертная масса , соответствующая энергии упругой деформации в веществе, будет намного меньше инертной массы связанной с напряжениями в объеме этого же вещества. Энергия упругой деформации пропорциональна изменению объема и напряжениям, а инертная масса связанная с напряжениями пропорциональна объёму и напряжениям. Изменение объема намного меньше объема. Поэтому в этом направлении ловить нечего. Пока что единственный выход вижу в том, что нужно учитывать относительность одновременности - вещество стенки будет становиться прозрачным для излучения неодновременно с точки зрения движущегося наблюдателя.