Но сказать, что равенство нулю выполняется только при равных нулю коэффициентах вроде как нельзя.
Конечно, нельзя.
Ограничение

(где

— это Ваши

) задаёт в

-мерном пространстве

-мерную поверхность. Допустимы только конфигурации системы с таким набором обобщённых координат

, что точка с такими координатами в

лежит на этой поверхности.
Добавляем ещё одно ограничение

. Это другая

-мерная поверхность. Теперь уже нужно, чтобы изображающая конфигурацию системы точка лежала одновременно на обеих поверхностях, то есть на их пересечении. В типичных (или интересующих нас) ситуациях пересечение будет

-мерно. И так далее. При

ограничениях у нас получится

-мерная поверхность

(вырожденные случаи не рассматриваем). Изображающая точка должна лежать на

.
В каждой точке

поверхности

виртуальному перемещению соответствует некоторый касательный вектор. Множество касательных векторов в каждой точке поверхности образует касательное векторное пространство размерности

. Естественно, можно выбрать базис и все касательные векторы по нему раскладывать. Бесконечно малое смещение в направлении касательного вектора не выводит нас за пределы

.
Если взять дифференциал от

-го ограничения, получится (зависящая от точки) дифференциальная форма

Так получается

дифференциальных форм. Каждый касательный вектор (т.е. виртуальное перемещение) в точке

поверхности

обращает в нуль все

этих форм, взятых в той же точке.