Как определяется порядок кардинальных чисел?

[Knight2023]

Если у меня есть любые два количественных числа $m$ and $n$, и я хочу знать, если $ m < n$, я бы сделал следующее:

1. Сформируйте множество $X$ из $m$ элементов и множество $Y$ из $n$ элементов.

2. Если существует взаимно однозначное отображение из $X$ into $Y$, но не существует однозначного отображения из $X$ onto $Y$

Тогда мы бы заключили $m < n$.

Но это теория, как выполнить такую задачу? Например, как мы можем придумать такой порядок кардиналов:

$$ 1 < 2 < 3 < \cdots < \aleph_0 $$

Кажется плохой идеей сформировать кучу камней и проверить биекцию.

[Mikhail_K]

Knight2023
Это делается так. Сначала определяются ординалы как наследственно транзитивные множества. Ординалы оказываются упорядочены включением: для любых двух ординалов $m$ и $n$ справедливо либо $m=n$, либо $m\in n$, либо $n\in m$. Затем определяются кардиналы как такие ординалы, которые меньше или равны всех равномощных им ординалов. Для любого множества можно подобрать равномощный ему кардинал - это и будет кардинальное число данного множества. Так как кардиналы являются ординалами, их можно сравнивать точно так же, и это сравнение будет равносильно изложенному Вами.

При таком подходе получается, что
$0=\varnothing$,
$1=\{0\}=\{\varnothing\}$,
$2=\{0,1\}=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}$,
$3=\{0,1,2\}$,
$\ldots$,
$\omega=\{0,1,2,3,\ldots\}$
и очевидно, что $0<1<2<3<\ldots<\omega$ (т.е. любой ординал, стоящий левее в этой цепочке, является элементом любого ординала, стоящего правее).

См., например, Коэн. Теория множеств и континуум-гипотеза.
Впрочем, что-то похожее так или иначе изложено в любой книге по теории ординалов, например,
Верещагин, Шень. Начала теории множеств.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: темы, в которых нужно что-то объяснить или подсказать в пределах учебных курсов, создаются в этом разделе.

[dgwuqtj]

Для кардиналов $0 < 1 < \ldots < \aleph_0$ можно по определению: построить инъективные отображения вида $\{1, \ldots, n\} \to \{1, \ldots, m\}$ при конечных $n < m$, а также из них в $\mathbb N$. После чего как-то доказать, что не бывает сюръективных отображений такого же вида. Кажется, это легко по индукции.