Уравнение в полных дифференциалах

[DGAPuser]

Решаю следующее уравнение:

$$y(x+y^2)dx + x^2 (y-1) dy = 0$$

Пробовал разные методы, но опишу тот, который, как мне кажется, должен привести к правильному ответу и по которому, собственно, возник вопрос. Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:

$$x(ydx - xdy) + y^3 dx + x^2 y dy = 0$$

$$x y^2 d \left(\frac{x}{y} \right) + y^3 dx + x^2 y dy = 0$$

$$d \left(\frac{x}{y}\right) + \frac{y}{x}dx + \frac{x}{y}dy = 0 $$

Дальше можно пытаться решать разными способами, однако я пока не нашёл ни одного, который привёл бы к ответу.
Но мой вопрос в другом. Авторский ответ на задачу:

$$\ln \left| \frac{x+y}{y}\right| + \frac{y(1+x)}{x+y} = C$$

Продифференцируем его:

$$\frac{d\left(\frac{x}{y} \right)}{\frac{x+y}{y}} + \frac{y(y-1)dx + x(x+1)dy}{(x+y)^2} = 0$$

$$d\left(\frac{x}{y} \right) + \frac{(y-1)dx + \frac{x}{y}(x+1)dy}{(x+y)} = 0$$

Это уравнение явно не совпадает с тем, что я получал. Где моя ошибка и как получить авторский ответ?

[svv]

Ошибки у Вас нет. Если Вы найдёте разность выражений
$d\left(\dfrac{x}{y}\right) + \dfrac{y}{x}dx + \dfrac{x}{y}dy$
$d\left(\dfrac{x}{y} \right) + \dfrac{(y-1)dx + \frac{x}{y}(x+1)dy}{(x+y)}$
и потом умножите результат на $xy(x+y)$, получится
$xy(x+y)\left(\dfrac{y}{x}-\dfrac{y-1}{x+y}\right)dx+xy(x+y)\left(\dfrac{x}{y}-\dfrac{\frac{x}{y}(x+1)}{x+y}\right)dy$
$=y(x+y^2)dx+x^2(y-1)dy$
То есть та самая дифференциальная форма, которая стоит в левой части исходного уравнения.

P. S. Исходное уравнение не является уравнением в полных дифференциалах. Оно становится таковым, например, после умножения на интегрирующий множитель $\frac{1}{y(x+y)^2}$.

[svv]

DGAPuser в сообщении #1605680 писал(а):

как получить авторский ответ?

DGAPuser в сообщении #1605680 писал(а):

$$d \left(\frac{x}{y}\right) + \frac{y}{x}dx + \frac{x}{y}dy = 0 $$

Введём переменную $z=\frac x y$ и выразим $dy=d\frac x z$, тем самым избавимся от $y$. Получится
$\begin{array}{l}z\,dz+dx+z\,dx-x\,dz=0\\z\,dz+dz+dx+z\,dx-x\,dz-dz=0\\(z+1)d(z+1)+(z+1)d(x+1)-(x+1)d(z+1)=0\end{array}$

[DGAPuser]

Спасибо, теперь я разобрался.