Замена функций на эквивалентные и теория чисел

[mathematician123]

Возник вопрос с пониманием доказательства, что

$$\nu_q\left(\prod_{p \le x}(p+1)\right) \sim \frac{q}{(q-1)^2} \frac x{\log x}. $$

Произведение слева берётся по всем простым не превосходящим $x$, $q$ - фиксированное простое число.

Насколько обоснован следующий переход:

$$\sum_{k \ge 1}\pi(x, q^k, -1)\sim \sum_{k\ge1} \frac1{\varphi(q^k)} \frac x{\log x}$$

так как $\pi(x;m,a) \sim \frac1{\varphi(m)} \frac x{\log x}$ для любого $a$, такого что $\gcd(a, m) = 1$?

Понятно, что конечное множество функций можно было бы заменить на эквивалентные. Но здесь производится замена бесконечного количества функций на эквивалентные. Я думаю, это место требует дополнительного обоснования.

[KhAl]

Стандартный приём: взять достаточно большой конечный кусок ряда, остальное отбросить ввиду малости.

1) для любого $\varepsilon$ найдётся $n_0$: для любого $x$ верно$\sum_{k \ge n_0} \frac1{\varphi(q^k)} \frac x{\log x} < \varepsilon \cdot \sum_{n_0 > k \ge 1} \frac1{\varphi(q^k)} \frac x{\log x}$

2) причём для любого $x$ (а может, только для достаточно больших $x$) можно сделать $\sum_{k \ge n_0} \pi(x, q^k, -1) < \varepsilon \cdot \sum_{n_0 > k \ge 1} \pi(x, q^k, -1)$

3) при заданном $n_0$ для достаточно больших $x$ верно $\left( \sum_{n_0 > k \ge 1} \frac1{\varphi(q^k)} \frac x{\log x} \right) / \left( \sum_{n_0 > k \ge 1}\pi(x, q^k, -1) \right) \in [1 - \varepsilon; 1 + \varepsilon]$

1 почти очевидно, 2 я не знаю, как доказать, а 3 мне лень доказывать. В сумме выйдет, что для достаточно больших $x$ $\left( \sum_{k \ge 1} \frac1{\varphi(q^k)} \frac x{\log x} \right) / \left( \sum_{k \ge 1}\pi(x, q^k, -1) \right) \in [(1 - \varepsilon)^3; (1 - \varepsilon)^{-3}]$

-- 16.08.2023, 15:14 --

2 легко доказать, если есть оценка вида $\pi(x; q^k, -1) < \frac{C}{\varphi(q^k)} \frac{x}{\log x}$, общая для всех $x$ и $k$.

-- 16.08.2023, 15:35 --

Разумеется, в общем случае заменять на эквивалентные нельзя. Например, если $[\quad]$ — скобка Айверсона, то $\sum_{k \ge 1} [\, k \le x \,] \not \sim \sum_{k \ge 1} [\, k \le {2^x} \,]$, хотя по слагаемым эквивалентность есть.

[mathematician123]

KhAl в сообщении #1605507 писал(а):

2) причём для любого $x$ (а может, только для достаточно больших $x$) можно сделать $\sum_{k \ge n_0} \pi(x, q^k, -1) < \varepsilon \cdot \sum_{n_0 > k \ge 1} \pi(x, q^k, -1)$

KhAl в сообщении #1605507 писал(а):

2 легко доказать, если есть оценка вида $\pi(x; q^k, -1) < \frac{C}{\varphi(q^k)} \frac{x}{\log x}$, общая для всех $x$ и $k$.

Я думаю, что в этом сложность. То есть, сама по себе эквивалентность $\pi(x;m,a) \sim \frac1{\varphi(m)} \frac x{\log x}$ ещё ничего не доказывает. Нужно ещё знать скорость сходимости. Наверное, это вопрос к специалистам по аналитической теории чисел.

[KhAl]

mathematician123, почему бы Вам не спросить об этом под тем же ответом Greg Martin?

[mathematician123]

KhAl
Изначально я хотел узнать, можно ли заменять функции на эквивалентные в бесконечных суммах. Ваш пример показывает, что не всегда. Тогда попробую спросить у него.

[vicvolf]

mathematician123 в сообщении #1605516 писал(а):

сама по себе эквивалентность $\pi(x;m,a) \sim \frac1{\varphi(m)} \frac x{\log x}$ ещё ничего не доказывает. Нужно ещё знать скорость сходимости. Наверное, это вопрос к специалистам по аналитической теории чисел.

Точнее $\pi(x;m,a)=\frac1{\varphi(m)} \frac x{\log x}+O(\frac{x}{\log^2 x})$.

[KhAl]

Я загуглил. Можно применить теорему 7.10 отсюда

А Greg Martin что-то вертится. Что это у него за standart error terms?