ХРИН 02 Хронометрические преобразования

[Утундрий]

В этом параграфе впервые появляются частные производные по координатам, которые будем обозначать индексом после запятой: $f_{,\mu} \equiv \dfrac{\partial f}{\partial x^{\mu}}$.

Роль координат состоит только в том, что они отмечают события. Если вместо чисел $x^0,x^1,x^2,x^3$ ввести какие-то другие $x^{0'},x^{1'},x^{2'},x^{3'}$, однозначно связанные с предыдущими, то не видно никаких оснований предпочесть один набор меток другому. Такие взаимно однозначные преобразования координат будем называть допустимыми.

Необходимым (но не достаточным!) условием допустимости преобразования координат является отличие от нуля якобиана преобразования: $\operatorname{det}(x^{\mu'}_{,\nu}) \ne 0$.

Времениподобный интервал интерпретируется как собственное время и потому не может зависеть от переименования меток на событиях. Следовательно, интервал $\delta s$ является инвариантом допустимых преобразований. Этот факт, вкупе с законом изменения дифференциала координат $dx^{\mu'}=x_{,\alpha}^{\mu'}dx^{\alpha}$, даёт закон изменения ковариантных компонент метрического тензора $g_{\mu \nu}=x_{,\mu}^{\alpha'} x_{,\nu}^{\beta'} g_{\alpha' \beta'}$, который мы будем здесь нещадно эксплуатировать.

Несколько слов о физической размерности.

Координаты $x^{\mu}$ будем считать безразмерными, а ковариантные компоненты метрического тензора $g_{\mu \nu}$ - имеющими размерность квадрата секунды.

§2 Хронометрические преобразования

Рассмотрим произвольное допустимое преобразование координат

$$x^{\mu'}=x^{\mu'}(x^0,x^1,x^2,x^3) \eqno (2,1)$$

Тогда с необходимостью выполнено условие

$$ J \equiv \left| {\begin{array}{cccc} x_{,0}^{0'} & x_{,1}^{0'} & x_{,2}^{0'} & x_{,3}^{0'} \\ x_{,0}^{1'} & x_{,1}^{1'} & x_{,2}^{1'} & x_{,3}^{1'} \\ x_{,0}^{2'} & x_{,1}^{2'} & x_{,2}^{2'} & x_{,3}^{2'} \\ x_{,0}^{3'} & x_{,1}^{3'} & x_{,2}^{3'} & x_{,3}^{3'} \\ \end{array} } \right| \ne 0 \eqno (2,2)$$

Преобразование $(2,1)$ будем называть хронометрическим, если из $dx^i=0$ следует $dx^{i'}=0$. То есть, если новые координаты остаются сопутствующими той же системе отсчёта, что и старые.

Нетрудно установить следующую эквивалентность:

$$\left( dx^i=0 \Rightarrow dx^{i'} =0 \right) \Leftrightarrow x_{,0}^{i'}=0 \eqno (2,3)$$

Поэтому произвольное хронометрическое преобразование имеет вид

$$\left\{ {\begin{array}{l} x^{\widetilde 0} = x^{ \widetilde 0}(x^0,x^1,x^2,x^3) \\ x^{\widetilde i} = x^{ \widetilde i}(x^1,x^2,x^3) \\ \end{array} } \right. \eqno (2,4)$$

Здесь и всюду ниже мы будем использовать знак тильды для хронометрических преобразований, чтобы отличать их от произвольных допустимых. Так, например, запись

$$dx^{\widetilde i}=x_{,k}^{\widetilde i}dx^k \eqno (2,5)$$

устанавливает закон изменения $dx^i$ при хронометрическом преобразовании. Этот закон полностью аналогичен закону изменения $4-$вектора, но действует в пространстве на единицу меньшей размерности. Величины, ведущие себя подобно $(2,5)$, будем называть хронометрически инвариантными векторами, или, короче, хивекторами.

Отметим, что в случае хронометрического преобразования условие $(2,2)$ факторизуется до

$$x_{,0}^{\widetilde 0} \ne 0, \qquad \overline J \equiv \left| {\begin{array}{ccc} x_{,1}^{\widetilde 1} & x_{,2}^{\widetilde 1} & x_{,3}^{\widetilde 1} \\ x_{,1}^{\widetilde 2} & x_{,2}^{\widetilde 2} & x_{,3}^{\widetilde 2} \\ x_{,1}^{\widetilde 3} & x_{,2}^{\widetilde 3} & x_{,3}^{\widetilde 3} \\ \end{array} } \right| \ne 0 \eqno (2,6)$$

Теперь выясним, что происходит с величинами $(1,3)$ при хронометрическом преобразовании? Для этого введём аналогично определённые величины "с тильдой", относящиеся к новым координатам. В частности, по-прежнему полагаем $\widetilde h >0$. Тогда ковариантные компоненты метрики в новых координатах выразятся через величины "с тильдой" аналогично $(1,7)$:

$$\left\{ {\begin{array}{rcl} g_{\widetilde 0 \widetilde 0} & = & \widetilde h^2 \\ g_{ \widetilde 0 \widetilde i} & = & - \widetilde h a_{ \widetilde i} \\ g_{\widetilde i \widetilde k} & = & - \overline{g}_{ \widetilde i \widetilde k} +a_{\widetilde i} a_{\widetilde k} \end{array} } \right. \eqno (2,7)$$

Для начала найдём $h^2=g_{00}=x_{,0}^{\widetilde 0} x_{,0}^{\widetilde 0} g_{\widetilde 0 \widetilde 0}=\left( x_{,0}^{\widetilde 0} \; \widetilde h \right)^2 \Rightarrow h=\sigma x_{,0}^{\widetilde 0} \; \widetilde h $, где введено обозначение

$$\sigma \equiv \operatorname{sign}\left(x_{, 0}^{\widetilde 0}\right) = \pm 1 \eqno (2,8)$$

Аналогично $- h a_i=g_{0i}=x_{,0}^{\widetilde 0} \left( x_{,i}^{\widetilde 0}g_{\widetilde 0 \widetilde 0}+x_{,i}^{\widetilde k}g_{\widetilde 0 \widetilde k} \right)=\sigma h \left(x_{,i}^{\widetilde 0} \widetilde h-x_{,i}^{\widetilde k}a_{\widetilde k} \right) \Rightarrow a_i=\sigma \left( \widetilde a_i -x_{,i}^{\widetilde 0} \widetilde h \right)$, где введено ещё одно сокращение:

$$\widetilde a_i \equiv x_{,i}^{\widetilde k} a_{\widetilde k} \eqno (2,9)$$

Теперь, пользуясь тождеством $\sigma^2=1$, перепишем полученные соотношения в виде

$$x_{,0}^{\widetilde 0}= \sigma \dfrac{h}{\widetilde h}, \qquad x_{,i}^{\widetilde 0}=\dfrac{\widetilde a_i - \sigma a_i}{\widetilde h} \eqno (2,10)$$

Наконец, упрощая $- \overline g_{ik}+a_i a_k=g_{ik}=x_{,i}^{\widetilde 0}x_{,k}^{\widetilde 0}g_{\widetilde 0 \widetilde 0}+\left( x_{,i}^{\widetilde 0}x_{,k}^{\widetilde s}+x_{,k}^{\widetilde 0}x_{,i}^{\widetilde s} \right) g_{\widetilde 0 \widetilde s}+x_{,i}^{\widetilde m}x_{,k}^{\widetilde s}g_{\widetilde m \widetilde s}$, приходим к выражению

$$\overline g_{ik}=x_{,i}^{\widetilde m}x_{,k}^{\widetilde s} \overline g_{ \widetilde m \widetilde s} \eqno (2,11)$$

Такую величину естественно назвать хитензором. А соединяя $(2,11)$ с $(2,5)$, получаем ещё и хинвариант (хронометрический инвариант) $\delta \overline l$.

Осталось вычислить величину $\widetilde{\delta \overline \tau} \equiv \widetilde h \; dx^{\widetilde 0} - a_{\widetilde i} \; dx^{\widetilde i}=\widetilde h \left( x_{,0}^{\widetilde 0} dx^0+x_{,i}^{\widetilde 0} dx^i \right) -a_{\widetilde i}x_{,k}^{\widetilde i}dx^k$, которая оказывается равной

$$\widetilde{\delta \overline \tau}= \sigma \delta \overline \tau \eqno (2,12)$$

Как видим, $\delta \overline \tau$, не является хинвариантом, так как меняет знак при "отражении времени".

Задача
Как изменяются величины $\theta_i \equiv \dfrac 1 h \left( h_{,i}+a_{i,0} \right)$ при хронометрическом преобразовании координат?

[Утундрий]

Решение задачи составляет часть третьего параграфа, но хотелось бы увидеть его здесь.

[Утундрий]

На всякий случай, напомню:

Утундрий в сообщении #1583646 писал(а):

Планирую: создавать по теме на пункт и переходить к следующей только после основательного пережёвывания текущей.

Не планирую: вещать в пустоту, как глухарь на току. Не будет отклика, не будет и продолжения.

Под откликом я подразумеваю, собственно, любой отклик. Вопросы, возражения, недоумения и разнообразные пожелания автору. Дело в том, что если я потеряю тетрадь, где подробно прописана добрая половина плана, то хрен я потом всё это восстановлю в том же виде и в той же форме

Так что нельзя ли по-активнее?

[schekn]

Утундрий в сообщении #1609665 писал(а):

Решение задачи составляет часть третьего параграфа, но хотелось бы увидеть его здесь.

Не могли бы пояснить смысл решения данной задачи? Смысл вашего выражения?

[Утундрий]

Возьмите величины $\theta_i \equiv \dfrac 1 h \left( h_{,i}+a_{i,0} \right)$ и примените к ним преобразования $(2,4)$. Результат будет прост.

[schekn]

Утундрий
Вы не ответили на вопрос.

[Утундрий]

schekn
В таком случае, я не понял смысла вопроса. Вы спросили о каком-то "смысле решения и выражения". Можете сделать вопрос более осмысленным?

[schekn]

Утундрий в сообщении #1626303 писал(а):

schekn
В таком случае, я не понял смысла вопроса. Вы спросили о каком-то "смысле решения и выражения". Можете сделать вопрос более осмысленным?

Вы ввели некоторое выражение , которое для вашего объяснения применения Хронометрических инвариантов , является важным. Я не пойму важность. Пока это абстракция.

[Утундрий]

schekn в сообщении #1626512 писал(а):

которое для вашего объяснения применения Хронометрических инвариантов , является важным.

Это домыслы.

schekn в сообщении #1626512 писал(а):

Я не пойму важность.

Это не мои проблемы.

schekn в сообщении #1626512 писал(а):

это абстракция.

Разумеется. Как и любая математическая модель реальности.

Вы просто не хотите напрягать мозг. Ваше право.

[SergeyGubanov]

Утундрий в сообщении #1605362 писал(а):

Теперь выясним, что происходит с величинами $(1,3)$ при хронометрическом преобразовании?

Величины $(1,3)$ видимо были определены в первой главе? Из текста второй главы можно предположить, что

$$ h = \sqrt{g_{00}}, \qquad a_i = - \frac{g_{0i}}{\sqrt{g_{00}}}. $$

Тогда

$$ \theta_{i} = \frac{1}{\sqrt{g_{00}}} \left( \frac{\partial}{\partial x^{i}} \left( \sqrt{g_{00}} \right) - \frac{\partial}{\partial x^{0}} \left( \frac{g_{0i}}{\sqrt{g_{00}}} \right) \right). $$

Относительно замен $x^{i} \to \tilde{x}^{i}(x)$ это $3$-вектор.

А относительно замены $x^{0}$ похоже получается что-то нетривиальное особенно если

$$ \frac{ \partial \tilde{x}^{0} }{ \partial x^{0} } \ne \left| \frac{ \partial \tilde{x}^{0} }{ \partial x^{0} } \right| $$

[Утундрий]

SergeyGubanov в сообщении #1628075 писал(а):

Величины $(1,3)$ видимо были определены в первой главе?

Да, только не главе, а параграфе.

SergeyGubanov в сообщении #1628075 писал(а):

относительно замены $x^{0}$ похоже получается что-то нетривиальное особенно если

$$ \frac{ \partial \tilde{x}^{0} }{ \partial x^{0} } \ne \left| \frac{ \partial \tilde{x}^{0} }{ \partial x^{0} } \right| $$

Хивектор там получается.

[Cos(x-pi/2)]

Увы, в этой науке я не "коллега"; просто попробовал тупо применить дифференцирования к уже имеющимся выше формулам:

(попытка стронуться с места)

Предполагая, что функции $h$ и $a_i$ зависят от $x^{\widetilde{\mu}}(x^0,x^1,x^2,x^3)}$ записываю их производные по $x^i$ и по $x^0$ согласно правилу дифференцирования сложной функции:

$$\theta_i=\frac{1}{h}(h_{,i} + a_{i,0})=\frac{1}{h}(x^{\widetilde{0}}_{,i}h_{,\widetilde{0}}+ x^{\widetilde{k}}_{,i}h_{,\widetilde{k}}+ x^{\widetilde{0}}_{,0}a_{i,\widetilde{0}}+ x^{\widetilde{k}}_{,0}a_{i,\widetilde{k}}).$$

Последнее слагаемое равно нулю, так как $x^{\widetilde{k}}_{,0}=0$ при хронометрических преобразованиях. Цель дальнейших выкладок - избавиться от индекса без тильды в $a_{i,\widetilde{k}}$ и упростить то, что получится, насколько удастся. Дифференцирую по $x^{\widetilde{0}}$ выражение $a_i=\sigma x^{\widetilde{k}}_{,i} a_{\widetilde{k}} - \sigma x^{\widetilde{0}}_{,i} \widetilde{h},$ имеющееся перед (2.9):

$$a_{i,\widetilde{0}}=\sigma x^{\widetilde{k}}_{,i} a_{\widetilde{k},\widetilde{0}} - \sigma x^{\widetilde{0}}_{,i} \widetilde{h}_{,\widetilde{0}}.$$

Вторые производные от координат посчитал здесь (и дальше тоже так) равными нулю, потому что последовательность дифференцирований можно менять, и тогда получаются производные от независимых переменных $x^{\widetilde{k}}$ по независимой переменной $x^{\widetilde{0}},$ либо производная от константы $x^{\widetilde{0}}_{,\widetilde{0}} =1.$

Согласно (2.10) умножив $a_{i,\widetilde{0}}$ на $x^{\widetilde{0}}_{,0}=\sigma (h/\widetilde{h}),$ учтём, что $\sigma^2=1.$ Тогда:

$$\theta_i=\frac{1}{h}(x^{\widetilde{0}}_{,i}(h_{,\widetilde{0}}-(h/\widetilde{h})\widetilde{h}_{,\widetilde{0}})+ x^{\widetilde{k}}_{,i}h_{,\widetilde{k}}+ (h/\widetilde{h})x^{\widetilde{k}}_{,i}a_{\widetilde{k},\widetilde{0}} ).$$

С помощью равенства (2.10), т.е. $h=\sigma x^{\widetilde{0}}_{,0}\widetilde{h},$ дифференцируя это равенство по $x^{\widetilde{0}}$ или по $x^{\widetilde{k}},$ можно видеть, что

$$(h_{,\widetilde{0}}-(h/\widetilde{h})\widetilde{h}_{,\widetilde{0}})=0,$$

и что

$$\frac{1}{h}h_{,\widetilde{k}}=\frac{1}{\widetilde{h}}\widetilde{h}_{,\widetilde{k}}.$$

В итоге, если определить величины $\theta_{\widetilde{k}}$ равенством

$$\theta_{\widetilde{k}}=\frac{1}{\widetilde{h}}(\widetilde{h}_{,\widetilde{k}} + a_{\widetilde{k},\widetilde{0}})\,,$$

то получилась следующая формула преобразования:

$$\theta_i=x^{\widetilde{k}}_{,i}\,\theta_{\widetilde{k}}.$$

Если бред, то прошу автора темы меня извинить (я написал всё без понимания физ. смысла этих $\theta_i,$ просто чтобы тему хоть как-то оживить :-)

[Утундрий]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1628774 писал(а):

Если бред, то прошу автора темы меня извинить (я написал всё без понимания физ. смысла этих $\theta_i,$ просто чтобы тему хоть как-то оживить

Так и надо было. Моменты, когда в тему просочится т.н. "физический смысл", я буду отмечать особо. Спасибо за интерес к теме, ответ совпадает с авторским.

[tuniekov]

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #1628829 писал(а):

Так и надо было. Моменты, когда в тему просочится т.н. "физический смысл", я буду отмечать особо. Спасибо за интерес к теме, ответ совпадает с авторским.

Весело решать задачу на физическом форуме без ее физического смысла
Для меня матетематика не так важна как ее физический смысл

[Cos(x-pi/2)]

Утундрий, хотелось бы увидеть продолжение; оно будет?