Начальный момент в устойчивости диффура

[Poehavchij]

Выяснить, является ли устойчивым нулевое решение системы, если известно, что общее решение этой системы имеет указанный вид:
$ x = C_1 cos^2t - C_2 e^{-t} $
$y = C_1 t^4 e^{-t} + 2C_2. $
Конкретно функции тут любые могут быть, неважно, это к примеру 890 из Филлипова
Вопрос у меня такой, я так понимаю тут нужно просто брать и доказывать прям по определению, и мне сначало нужно подставить некий $t_0$ и выразить "цешки", ну а затем уже доказывать. Только вопрос, а каким взять $t_0$, если произвольным то задача становиться весьма громоздкой. В книжке Васильевой и др. " Дифференциальные и интегральные уравнения, вариационное исчисление в примерах и задачах " есть в разделе устойчивости подобная задача, и там берут $t_0 = 0$ Собственно, а доказывает ли это устойчивость для любых начальных моментов времени ? Какой конкретно брать, вроде не указан. Заранее спасибо

[svv]

Poehavchij
В книге Филиппова на стр. 88 есть замечание:

Цитата:

Наличие или отсутствие устойчивости не зависит от выбора $t_0$.

Более подробно этот момент освещён в книге
Демидович, Лекции по математической теории устойчивости. Глава II, §1. Основные понятия теории устойчивости (стр. 68 в 3 издании).
Сначала на стр. 70 прочитайте, что такое интегральная непрерывность решений. Далее см. на стр. 73

Цитата:

Замечание. Если решение $\eta = \eta(t) (a < t < \infty)$ системы (2.1.1) с непрерывной правой частью устойчиво для какого-нибудь фиксированного момента $t_0 \in (a, \infty)$, то оно будет устойчиво для любого другого момента $t'_0 \in (a, \infty)$
...
Таким образом, можно ограничиваться проверкой устойчивости решения, а также его асимптотической устойчивости, лишь для некоторого заданного начального момента $t_0$.

[Poehavchij]

svv
Огромное спасибо, теперь понятно.
А я правильно понял, что интегральная непрерывность решений это почти тоже самое что устойчивость по Ляпунову, но только для конечного отрезка ?

[svv]

Похоже, но обратите внимание и на отличия.
Пусть выполняется свойство интегральной непрерывности.
Выберем $\varepsilon>0$ и отрезок $[\alpha,\beta]$.
Тогда при некотором $\delta(\varepsilon,\alpha,\beta)>0$ решение $\mathbf z(t)$, близкое к $\mathbf y(t)$ в произвольной точке $t_0$ в пределах отрезка:
$|\mathbf z(t_0)-\mathbf y(t_0)|<\delta, \qquad t_0\in[\alpha,\beta]$
будет оставаться близким к $\mathbf y(t)$ на всём отрезке:
$|\mathbf z(t)-\mathbf y(t)|<\varepsilon,\quad\qquad\forall t\in[\alpha,\beta]$,
включая и «более ранние» точки $t<t_0$ в пределах отрезка (если таковые имеются).
Возможность такой «экстраполяции близости назад» используется в Замечании на стр.73.

[Poehavchij]

svv Еще раз большое спасибо )