Числа Мерсенна 2^n

[Martynov_M]

Есть уравнение:

$k = \dfrac{2^{n} - 1}{m}.$

где
$k$ – нечетное: 1, 3, 5, 7, 9…
$n, m$ – натуральные.

Уравнение означает, что абсолютно любое нечетное число представимо в виде чисел Мерсенна.

Пример.
$k=1. \quad k = \dfrac{2^{1} - 1}{1}.$

$k=1. \quad k = \dfrac{2^{2} - 1}{3}.$

$k=1. \quad k = \dfrac{2^{3} - 1}{7}.$

$k=3. \quad k = \dfrac{2^{2} - 1}{1}.$

$k=3. \quad k = \dfrac{2^{4} - 1}{5}.$

$k=3. \quad k = \dfrac{2^{6} - 1}{21}.$

$k=5. \quad k = \dfrac{2^{4} - 1}{3}.$

$k=5. \quad k = \dfrac{2^{8} - 1}{51}.$

$k=5. \quad k = \dfrac{2^{12} - 1}{819}.$

$k=7. \quad k = \dfrac{2^{3} - 1}{1}.$

$k=7. \quad k = \dfrac{2^{6} - 1}{9}.$

$k=7. \quad k = \dfrac{2^{9} - 1}{73}.$

$k=9. \quad k = \dfrac{2^{6} - 1}{7}.$

$k=9. \quad k = \dfrac{2^{12} - 1}{455}.$

$k=9. \quad k = \dfrac{2^{18} - 1}{29127}.$

$k=11. \quad k = \dfrac{2^{10} - 1}{93}.$

$k=11. \quad k = \dfrac{2^{20} - 1}{95325}.$

$k=11. \quad k = \dfrac{2^{30} - 1}{97612893}.$
и т.д.

Но я не нашел какого-либо упоминания об этом уравнении в литературе. При этом есть явное сходство с Малой теоремой Ферма.
МТФ гласит:

$m = \dfrac{2^{k-1}-1}{k},$ всегда имеет целочисленное решение для простого $k$. Но у нас:

$m = \dfrac{2^{n} -1}{k} \; \text{,} $ где $k$ – любое нечетное число.

Попытался найти контрпример: прогнал миллионы нечетных чисел на компьютере. Все числа успешно прошли проверку. Для каждого нечетного числа я нашел соответствующее ему число Мерсенна.

Поэтому вопрос. Что известно об этом уравнении? Почему любое нечетное число $k$ представимо в виде:

$k = \dfrac{2^{n} -1}{m}.$

[Null]

Попробуйте $n=\varphi(k), m = \frac{2^{\varphi(k)} -1}{k}$,где $\varphi(k)$— функция Эйлера.

[Martynov_M]

Теорема Эйлера...

2 и любое k - всегда взаимно просты, поэтому уравнение

$m = \dfrac{2^{\varphi(k)} -1}{k}$, всегда имеет целочисленное решение.

Спасибо!