Найти предел последовательности

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1603354 писал(а):

vicvolf в сообщении #1603353 писал(а):

Далее $\sum_{n \leq x}\ln(1+1/n^2)=\sum_{n \leq x}{1/n^2}+O(g(1/x))$.

Не получается. Там например в первом слагаемом будет $g(1)$.

Да, при $x \to \infty$ первое слагаемое сходится, а второе дает оценку остатка.

[mihaild]

vicvolf в сообщении #1603353 писал(а):

$\sum_{n \leq x}\ln(1+1/n^2)=\sum_{n \leq x}{1/n^2}+O(g(1/x))$.

Вот это равенство неверно.

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1603356 писал(а):

vicvolf в сообщении #1603353 писал(а):

$\sum_{n \leq x}\ln(1+1/n^2)=\sum_{n \leq x}{1/n^2}+O(g(1/x))$.

Вот это равенство неверно.

Это асимптотическое равенство, которое справедливо при $x \to \infty$.
Ведь известно асимптотическое равенство $\sum_{n \leq x}\ln(1+1/n^2)=\sum_{n \leq x}{1/n^2}(1+o(1))$ при $x \to \infty$, а $g(y)=o(1)$.

[mihaild]

vicvolf в сообщении #1603357 писал(а):

Это асимптотическое равенство, которое справедливо при $x \to \infty$.

Что такое "асимптотическое равенство"?
Если использовать стандартные обозначения ($O(g(1/x)) = g(1/x) \cdot h(x)$, где $h$ ограничена), то это равенство неверно.

vicvolf в сообщении #1603357 писал(а):

Ведь известно асимптотическое равенство $\sum_{n \leq x}\ln(1+1/n^2)=\sum_{n \leq x}{1/n^2}(1+o(1))$

В зависимости от уточнений (ставить $o(\cdot)$ под знак суммы нехорошо) это будет либо неправдой, либо правдой, но неинтересной.

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1603359 писал(а):

vicvolf в сообщении #1603357 писал(а):

Ведь известно асимптотическое равенство $\sum_{n \leq x}\ln(1+1/n^2)=\sum_{n \leq x}{1/n^2}(1+o(1))$

В зависимости от уточнений (ставить $o(\cdot)$ под знак суммы нехорошо) это будет либо неправдой, либо правдой, но неинтересной.

Это не под знаком суммы, а сомножитель. Это асимптотическое равенство соответствует: $\sum_{n \leq x}\ln(1+1/n^2) \sim \sum_{n \leq x}{1/n^2}$.

[vicvolf]

Так как набор из вторых слагаемых по модулю оценивается как $\sum \frac{1}{n^2} \left|f\left(\frac{1}{n^2}\right)\right| \leq \sum \frac{1}{n^2} \cdot g\left(\frac{1}{n}\right) = O(1) \cdot g(1/n)=O(g(1/n))$, то $\sum \ln(1+1/n^2)=\sum {1/n^2}+O(g(1/n))$.

Теперь разберемся с индексами. Так как переменные $x,y$ Вы уже использовали, то возьмем переменную $z$, т.е. рассмотрим $\sum_{n \leq z} {\ln(1+1/n^2)}$.

Так как $n \leq z$, то $1/n \geq 1/z$. Учитывая, что $g(y) \to 0$ при $y \to 0$, то при $n \to \infty$ $g(y)$ - убывает, поэтому при $1/n \geq 1/z$ выполняется $g(1/n) \leq g(1/z)$,

Поэтому получаем $\sum_{n \leq z} {\ln(1+1/n^2)}=\sum_{n \leq z} {1/n^2}+O(g(1/z))$.

[mihaild]

vicvolf в сообщении #1603382 писал(а):

оценивается как $\sum \frac{1}{n^2} \left|f\left(\frac{1}{n^2}\right)\right| \leq \sum \frac{1}{n^2} \cdot g\left(\frac{1}{n}\right) = O(1) \cdot g(1/n)=O(g(1/n))$,

Пределы суммирования напишите, и станет очевидна ошибка.

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1603389 писал(а):

vicvolf в сообщении #1603382 писал(а):

оценивается как $\sum \frac{1}{n^2} \left|f\left(\frac{1}{n^2}\right)\right| \leq \sum \frac{1}{n^2} \cdot g\left(\frac{1}{n}\right) = O(1) \cdot g(1/n)=O(g(1/n))$,

Пределы суммирования напишите, и станет очевидна ошибка.

Да, пределы от 1 до $\infty$. Спасибо! Перемудрил.