Вычитание векторов (8 класс)

[Ilya83]

Всем здравствуйте! Объясните пожалуйста задачу:

Дан ромб ABCD с диагоналями AC=6, BD=8. Найти длину вектора $\vec{AB}-\vec{AD}$.
По правилам векторов, ответ будет BD=8.

Но по формуле ромба:$a=\frac{\sqrt{d^2+d^2}}{2}$, a=5. Т.е получается $5-5=0$

[miflin]

Обозначение операций сложения и вычитания что для чисел, что для векторов одними и теми же словами
и одними и теми же значками (+/-) может сбить с толку.
На самом же деле это совершенно разные операции за исключением одномерного случая.

[Sinoid]

Ilya83 в сообщении #1603018 писал(а):

Найти длину вектора $\vec{AB}-\vec{AD}$.

А чему равна эта разность

Ilya83 в сообщении #1603018 писал(а):

По правилам векторов

?

[miflin]

miflin в сообщении #1603023 писал(а):

может сбить с толку.

Информация к размышлению.
Пусть имеются векторы $\vec{a},\,\vec{b},\,\vec{c}$ такие, что из них можно построить
прямоугольный треугольник с гипотенузой $\vec{c}$, и направлены они так,
что выполняется ВЕКТОРНОЕ равенство $\vec{a}+\vec{b}=\vec{c}$.
Можем ли мы переписать это равенство для длин векторов, легкомысленно убрав "крышечки" над буквами,
т.е. написать $a+b=c$, где $a,\,b,\,c$ - длины векторов?
Нет, не можем (да, не можем ).
Мы напишем $a^2+b^2=c^2$.

-- 29.07.2023, 08:43 --

Я Вам больше скажу: можно выбрать направления векторов так, что будет выполняться, например, $\vec{a}-\vec{b}=\vec{c}$, но теорема Пифагора продолжит рулить.

[мат-ламер]

Ilya83 в сообщении #1603018 писал(а):

Дан ромб ABCD с диагоналями AC=6, BD=8. ...
По правилам векторов, ответ будет BD=8.

Кто бы сомневался. Если вы ищете именно длину вектора BD, то не надо никаких правил. Достаточно взглянуть на условие пристальным взглядом. Но мне кажется, что в условии спрашивается нечто другое.

Я бы посоветовал нарисовать чертёж к задаче и разобраться, а что же там просят найти?

[Ilya83]

Цитата:

А чему равна эта разность

Я же написал, что равен 8. Или буквами $\vec{DB}$.

Зная диагонали ромба я определил, что $AB и AD = 5$. Но если стороны ромба это $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$, то они не равны 5... Они равны: $\vec{a}-\vec{a}=8$

[Sinoid]

Ilya83 в сообщении #1603446 писал(а):

Я же написал, что равен 8. Или буквами $\vec{DB}$.

Так 8 или $\vec{DB}$???

[Ilya83]

$\vec{AB}-\vec{AD}=8$

[svv]

Ilya83
Разность векторов даёт вектор и не может быть числом.

Ilya83 в сообщении #1603473 писал(а):

$\vec{AB}-\vec{AD}=8$

Вот одна из причин, почему так писать нельзя.

Два вектора, $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$, имеют одну и ту же длину $2$ (считая, что клеточка имеет единичную длину). Но у них разное направление, поэтому $\vec{AB}\neq\vec{CD}$.

А если разрешить писать $\vec{AB}=2$ и $\vec{CD}=2$, из этих равенств будет следовать $\vec{AB}=\vec{CD}$, что неверно.

[Ilya83]

[

[Mikhail_K]

Ilya83
Вектор и длина вектора - разные вещи. Длина вектора может быть равна 8, но сам вектор не может быть равен 8, потому что вектор - не число.

[wrest]

Ilya83
Мне помогало знание того, что вычитание вектора -- это прибавление его инверсии, то есть
$\vec{AB}-\vec{AD}=\vec{AB}+(-1)\cdot\vec{AD}$ а инверсия - это перемена мест начала и конца вектора, т.е. $(-1)\cdot\vec{AD}=\vec{DA}$ и таким образом $\vec{AB}-\vec{AD}=\vec{AB}+\vec{DA}$ и когда у нас есть общая точка как тут, получается что $\vec{AB}+\vec{DA}=\vec{DA}+\vec{AB}=\vec{DB}$ ну а длина вектора равна длине соответсвующего отрезка, то есть $|\vec{DB}|=DB=BD=8$

[Евгений Машеров]

А что есть "формула ромба"? Судя по выражению

Ilya83 в сообщении #1603018 писал(а):

$a=\frac{\sqrt{d^2+d^2}}{2}$

это имеется в виду выражение для длины стороны через диагонали?
Ну так длина суммы векторов не обязана быть равной сумме длин (а вычитание это сложение с обратной величиной, так что ваше a можно было бы числить не только нулём, но и 10 - и всё равно неправильно).

[Mikhail_K]

Ilya83 в сообщении #1603018 писал(а):

Дан ромб ABCD с диагоналями AC=6, BD=8. Найти длину вектора $\vec{AB}-\vec{AD}$.
По правилам векторов, ответ будет BD=8.

Но по формуле ромба:$a=\frac{\sqrt{d^2+d^2}}{2}$, a=5. Т.е получается $5-5=0$

Длина вектора $\vec{AB}$ равна $5$, но сам вектор $\vec{AB}$ не равен $5$ (вектор - это вообще не число).
Длина вектора $\vec{AD}$ равна $5$, но сам вектор $\vec{AD}$ не равен $5$ (вектор - это вообще не число).
Поэтому вектор $\vec{AB}-\vec{AD}$ не равен $5-5=0$.
А длина вектора $\vec{AB}-\vec{AD}$ не обязана равняться разности длин векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$, поэтому она тоже не равна $5-5=0$.

[miflin]

Ilya83
Помедитируйте на спичках.
Возьмите три спички, которые будут изображать три вектора: серная головка - конец вектора.
Когда Вы будете вертеть их в руках, то эти векторы будут менять свои значения (из-за изменения ориентации).
Неизменными будут оставаться лишь длины векторов, которые (длины) являются лишь частью значения вектора.

Сложите из спичек треугольники (они будут равносторонними, если спички одинаковые), ориентируя спички произвольно.
Для каждого из треугольников будет выполняться одно из:
$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=0$
$\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}=0$
$\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}=0$
$\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}=0$

(Оффтоп)

Обязан предупредить, что этот эксперимент могут выполнять лишь совершеннолетние,
которым разрешено играть со спичками на проезжей части улицы.