Задача из Кострикина

[derlim]

Дана произвольная алгебраическая структура $(X,\circ)$, в которой $(x \circ y) \circ y=x, \; y \circ (y \circ x)=x \quad \forall x,y \in X$. Доказать, что операция $\circ$ коммутативна.

В учебнике написано, что никаких указаний к решению не даётся, потому что это одно из самых бесполезных упражнений в книжке, но мне всё равно интересно было бы его решить. Подскажите пожалуйста, от чего тут стоит оттолкнуться? Мне кажется, нужно сделать какую-то хитрую замену, но я не очень понимаю, какую именно.

[svv]

Выражение $(x\circ (x\circ y))\circ (x\circ y)$ можно упростить двумя способами.
Способ 1. Поскольку $x\circ (x\circ y)=y$, ...
Способ 2. Обозначим $z=x\circ y$, тогда ...
Дальше попробуйте сами.

[derlim]

$\\ (x \circ (x \circ y)) \circ (x \circ y) = y \circ (x \circ y) = x\\ y \circ (y \circ (x \circ y)) = x \circ y \\ y \circ x = x \circ y $

Спасибо большое!

[svv]

derlim
Из правил
$(x \circ y) \circ y=x, \; y \circ (y \circ x)=x \quad \forall x,y \in X$
можно извлечь и другие интересные следствия. При произвольных $x,y\in X$ каждое из следующих уравнений имеет одно и только одно решение относительно $t$:
$t\circ y = x$ (решение $t=x\circ y$)
$y\circ t = x$ (решение $t=y\circ x$)
Иными словами, операция $\circ$ обратима: по результату и одному операнду можно восстановить другой.
Я даже сначала думал, что это как-то поможет в решении задачи, но нет, не пригодилось.

Кстати, пример операции с такими свойствами — исключающее ИЛИ $\oplus$ (как в одноразрядном, так и в многоразрядном, побитовом варианте). И свойство $(x\oplus y)\oplus y=x$ используется в простеньком шифровании: сообщение $x$ шифруется ключом $y$, а потом тем же ключом $y$, применённым повторно, дешифруется.