Простое общетопологическое утверждение

[KhAl]

Пусть $X$ -- пространство, $A \subset X$ плотно, $Y$ -- ещё пространство и $f{:}\; X \to Y$ удовлетворяет

$$\forall x \in X \quad \forall\, \mathcal{V}_{f(x)} {\ni} f(x)\quad\exists\, \mathcal{U}_{x} {\ni} x{:}\quad f(\mathcal{U}_{x} \cap A) \subset \mathcal{V}_{f(x)}$$

($\mathcal{U}$, $\mathcal{V}$ обозначают открытые множества). Правда ли, что $f$ непрерывно?

Удалось доказать для регулярных $Y$: 1) для каждого $p \in \mathcal{U}_{x}$ доказать $f(p) \in \overline{\mathcal{V}_{f(x)}}$, то есть что всегда $\mathcal{V}_{f(p)} \cap \mathcal{V}_{f(x)} \neq \emptyset$. 2) из регулярности, для любой окрестности $f(x)$ выбрать меньшую её замкнутую окрестность $f(x)$. её прообраз содержит какую-то окрестность $x$ ввиду 1.

Мотивация: продолжаю функции с $\mathbb{N}$ на $\beta\mathbb{N}$, а проверять непрерывность лень.

[mihaild]

Вроде если $X = \{a, b\}$ с тривиальной топологией, $Y = \{a, b\}$ с топологией связного двоеточия ($\{a\}$ открыто), $A = \{a\}$, то тождественная функция удовлетворяет условию, но не непрерывна.

[KhAl]

mihaild
а контрпример с хаусдорфовым $Y$ бывает?

[mihaild]

Вроде бы вот так:
$X$ - $\mathbb R$ с обычной топологией
$Y$ - $\mathbb R$ с топологией pointed rational extension - т.е. множество открыто, если вместе с каждой точкой оно содержит все рациональные числа из некоторого окружающего её интервала (если я не ошибаюсь, это эквивалентно определению со страницы, но выгядит попроще)
В качестве $f$ возьмем тождественную функцию. В качестве $A$ возьмем $\mathbb Q$.
(просьба проверить - я прикинул в уме, но строго доказательство не расписывал)