Вопрос о применении арифметических свойств пределов

[Cobb-Douglas]

Здравствуйте, уважаемые формчане!
Помогите разобраться в следующем вопросе.
Если у двух последовательностей существуют конечные пределы, то предел разности этих последовательностей равен разности их пределов.
Как тогда понимать запись неопределенности вида "бесконечность минус бесконечность". Как я понимаю, она образуется, когда каждая из двух последовательностей в отдельности имеет предел, равный бесконечность. Но тогда мы не можем записать равенство предела разности и разности пределов, т.к. арифметические свойства требуют наличия конечных пределов.

Спасибо за ответы!

[mihaild]

Так и понимать - как неопределенность. Это неформальная запись, предназначенная для пояснения (а на практике ИМХО - чаще для запутывания) при начальной стадии изучения.
Теорема о пределе суммы говорит, что если у каждой из последовательностей есть (конечный) предел, то и у их суммы есть конечный предел, равный сумме пределов. Или чуть более обще: если у обеих последовательностей есть (возможно бесконечные) пределы и либо у одной из них предел конечен, либо у обеих пределы бесконечные с одинаковым знаком, то у суммы есть предел, равный сумме пределов (где суммой бесконечности и конечного значения, а также суммой двух бесконечностей одного знака считается бесконечность того же знака).
Когда у одной последовательности предел $+\infty$, а у другой $-\infty$, про предел суммы ничего в общем случае сказать нельзя.

[svv]

Cobb-Douglas в сообщении #1599415 писал(а):

Но тогда мы не можем записать равенство предела разности и разности пределов, т.к. арифметические свойства требуют наличия конечных пределов.

Если $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=+\infty$ и $\lim\limits_{n\to\infty}b_n=+\infty$, то мы не можем сказать, исходя только из этой информации, существует ли конечный предел $\lim\limits_{n\to\infty}(a_n-b_n)$, и если да, то чему он равен.

Но конечный предел у разности может быть. Например, в случае $a_n=n+1,\;b_n=n-\frac 1 n$.

[Cobb-Douglas]

Вопрос может показаться глупым.
Зачем вообще нужны свойства пределов функции, если для нахождения предела достаточно подставить значение переменной в функцию и получить тот же ответ?

[Dedekind]

Cobb-Douglas в сообщении #1602257 писал(а):

для нахождения предела достаточно подставить значение переменной в функцию

Кроме тех случаев, когда недостаточно:) Но даже когда и достаточно, как это доказать? Вот тут и используются эти свойства.

[Ёж]

Cobb-Douglas в сообщении #1602257 писал(а):

Вопрос может показаться глупым.
Зачем вообще нужны свойства пределов функции, если для нахождения предела достаточно подставить значение переменной в функцию и получить тот же ответ?

Попробуйте

$$ \lim\limits_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=? $$

$$ \lim\limits_{x\to1}\frac{|x-1|}{x-1}=? $$

[Cobb-Douglas]

Применительно к вашим примерам, какое свойство пределов функций здесь поможет?
В 1-м примере нужно разложить числитель на множители и сократить с выражением в заменателе. Но, как я понимаю, это преобразование именно самой функции, а не применение свойств пределов.

Я говорю о таких случаях, как найти предел функции (х плюс один) при х стремящимся к одному. Почему в этом случае мы должны использовать правило предела суммы? Почему нельзя просто подставить значение х?

[Anton_Peplov]

Cobb-Douglas в сообщении #1602271 писал(а):

Я говорю о таких случаях, как найти предел функции (х плюс один) при х стремящимся к одному. Почему в этом случае мы должны использовать правило предела суммы? Почему нельзя просто подставить значение х?

Можно подставить значение $x = 1$. Поскольку $y = x + 1$ - непрерывная в точке $x = 1$ функция, ее предел в этой точке совпадает с ее значением.

Неопределенности возникают, когда функция в искомой точке разрывна (в частности, не определена). Например, в $y = 1/x$ уже нельзя подставить $x = 0$. Или когда нужно найти предел при $x \to \infty$.

[Dedekind]

Cobb-Douglas в сообщении #1602271 писал(а):

Почему нельзя просто подставить значение х?

Так а как обосновать, что можно? Вот есть предел:

$$ \lim\limits_{x\to1}(x^2 - x) $$

Допустим, Вы доказали, что, по отдельности, $\lim\limits_{x\to 1}x^2=1$ и $\lim\limits_{x\to 1}x=1$.
Но что дает Вам право подставить $1$ в исходный предел? Как раз арифметические свойства. Нет, конечно, можно все решить и по-определению предела, с нуля. Но намного легче доказать сначала в общем виде свойства пределов, а потом уже ими пользоваться в конкретных задачах.

[Cobb-Douglas]

Тогда что дает право подставить 1 в предел функции "эф от х равно х" при х стремящимся к 1? Или здесь надо использовать определение предела?

[mihaild]

Cobb-Douglas в сообщении #1602276 писал(а):

Тогда что дает право подставить 1 в предел функции "эф от х равно х" при х стремящимся к 1?

Непрерывность функции $f(x) = x$. Которую нужно как-то доказывать - в конечном счете из определения предела, но могут быть какие-то промежуточные шаги.
(и научитесь писать формулы пока тема в карантин не уехала)

[Cobb-Douglas]

Спасибо! Теперь понял.
В учебниках по мат. анализу, по которым занимался, об этом важном моменте (о непрерывности функции) при вычислении пределов функций ни слова.

[mihaild]

Cobb-Douglas в сообщении #1602282 писал(а):

В учебниках по мат. анализу, по которым занимался, об этом важном моменте (о непрерывности функции) при вычислении пределов функций ни слова.

Потому что это следующая часть. Сначала учимся считать пределы, потом вводим использующее пределы понятие непрерывности, потом изучаем свойства непрерывности, потом, зная их, упрощаем себе вычисление пределов в некоторых случаях.

[Cobb-Douglas]

Все-таки я не понял.
1. Чтобы вычислить предел функции путем подстановки в нее значения, к которому стремится переменная, необходимо сначала доказать, что функция непрерывна.
2. Но, непрерывность функции в точке доказывается через нахождение ее предела в данной точке.
Получается логическое кольцо.

[EminentVictorians]

Cobb-Douglas в сообщении #1602388 писал(а):

1. Чтобы вычислить предел функции путем подстановки в нее значения, к которому стремится переменная, необходимо сначала доказать, что функция непрерывна.

Верно. (достаточно, чтобы она была непрерывна в интересующей нас точке; непрерывность всюду не обязательна)

Cobb-Douglas в сообщении #1602388 писал(а):

2. Но, непрерывность функции в точке доказывается через нахождение ее предела в данной точке.

Не обязательно. Можно использовать свойства, связанные с непрерывностью функций (арифметические операции, композиция и т.п)