нечто в позиционных системах счисления

[gris]

По мотивам школьной задачки.
Пусть (m,n) пара натуральных чисел, записанных в десятиричной системе счисления. Например, (22,42).
Назовём пару комплементарной, если существует k>1 — основание позиционной системы счисления, в которой запись из цифр второго числа совпадает с десятиричной записью первого.
$ 22_{10}=42_5$
Из равенства $ 42_{10}=22_{20}$ следует, что и пара (42,22) комплементарна. Увы, симметричность присутствует не всегда и многие пары вовсе не комплементарны
Вот забавный график, где синими точками отмечены комплементарные пары. Отсчёт от левого верхнего угла.


Кстати, симметрия не восстанавливается даже причудливой особенностью ПАРИ:
fromdigits( digits(29),2) = 13
Ну это обходимо при необходимости.
А по КП есть что-то из теории?

[Утундрий]

Симметрию легко получить, отпустив оба основания. Например, назовём два набора цифр однофигственными, если найдётся два таких основания, что оба прочитанных в них набора дают одно и то же число.

[gris]

Утундрий, спасибо! Я уж отчаялся увидеть симметрию в нашем мире.
Долго терзал ПАРИ и набрёл на алгоритм, позволяющий отыскать решение.
На основе статистики по натурным экспериментам высказываю гипотезу, что
1. любая строка цифр может быть интерпретирована как число в некоторой системе счисления.
2. любое число, записанное в системе счисления с основанием, равным этому числу, имеет вид "10".
3. Все цифровые строки однофигственны.
Пример: $31415926_{31415926}=271828_{271828}$

[Утундрий]

Да уж, симметрия оказалась слишком глобальной. А что там была за школьная задачка?

[Geen]

gris в сообщении #1602171 писал(а):

Все цифровые строки однофигственны

например, "2" и "3"?

[Утундрий]

$2_2=3_3$

[Geen]

мы же про строки говорим... строка "2" в двоичной системе счисления просто не валидна.

-- 23.07.2023, 19:06 --

то есть, как я понял исходный пост, нужно всё наоборот - не что бы строки для двух чисел совпали, а что бы две разные строки обозначали одно и то же число...

[gris]

Geen, а вот не валидна, но не инвалидна
fromdigits([2],2)=2; fromdigits([2,4,5],2)=21;
Милая особенность ПАРИ. В некоторых случаях цифры могут быть непривычными.
Ну я, конечно, имел в виду равенство
digits(234,234) = [1,0] и digits(6,6) = [1,0]
интересны, конечно, основания, отличные от чисел
Вообще, это просто шутка, а про задачу я забыл

[Geen]

Ах у вас тут ПАРИ... ну тогда я не вмешиваюсь больше

[gris]

Geen, пардон, конечно PARI/GP
Увлекательная штука, скажу вам.

[Geen]

(Оффтоп)

gris в сообщении #1602218 писал(а):

Увлекательная штука, скажу вам.

ну не знаю... у меня издавна с лисп-подобными языками диссинергия

[Утундрий]

Утундрий в сообщении #1602210 писал(а):

$2_2=3_3$

Написал я и только потом подумал - откуда в двоичной системе символ $2$?

gris в сообщении #1602216 писал(а):

про задачу я забыл

Жаль. В таких непонятных случаях желательно знать, откуда ноги растут. Иначе оттуда же могут вырасти руки.

Вообще, я там выше полную ерунду написал. Трудно сходу перестроиться на все эти выморочные соответствия, ничему по сути не соответствующие.

[Ende]

gris
Для решения Вашей задачи существенны особенности PARI/GP?
Если так, перенесу тему в CS.

[gris]

Ende, на ваше усмотрение. Я, право, не знаю, как без перебора установить комплементарность пары (2023, 39423)
Задачка точно была про год и ещё что-то.

[Andrey A]

gris в сообщении #1602233 писал(а):

... комплементарность пары (2023, 39423)
Задачка точно была про год и ещё что-то.

Если про год, то одна из систем счисления предполагается известной — десятичная. Из чисто практических соображений. Тогда
$2x^3+0x^2+2x+3=39423$ и
$x(2x^2+2)=39420.$
$2x^3 \approx 39420$ и $x \mid 39420,$ то есть $x=27.$ В таком виде задача действительно школьная.
Если же о системах счисления ничего не известно, и заданы две величины, типа $A_X \sim B_Y$, то отправная точка $A \equiv B \mod (X-Y).$ Думается, должен быть алгоритм. Но я не уверен это ли имелось в виду.