ряд сходится, а ряд из кубов расходится

[Sem]

не могу решить:
найти сходящийся числовой ряд, такой, что ряд из кубов расходится.

[ИСН]

Элементарно (ну, или кажется таковым, когда знаешь ответ). Члены должны чередоваться знаками через три (+, -, -, +, -, -...), а по модулю - убывать очень медленно и печально.

[Brukvalub]

Классика:$\sum {\frac{{\cos (\frac{{2\pi n}}{3})}}{{\ln (1 + n)}}} $

[Sem]

весьма благодарен!

[antbez]

А такой ряд подойдёт $\frac {1}{1^ \frac {1}{3}}-\frac {1}{2^ \frac {1}{3}}-\frac {1}{3^ \frac {1}{3}}+\frac {1}{4^ \frac {1}{3}}-...$?

[ewert]

нет, и даже идея не подойдёт: если сами знаменатели монотонно уходят на бесконечность, то их кубы -- тоже

[antbez]

Ну. гармонический ряд тоже монотонно убывает, однако это не мешает ему расходиться...

[ИСН]

Ваш ряд (если я правильно понял, что сокрыто под многоточием) будет великолепно расходиться сам по себе. И в кубе тоже. И в квадрате, если кому взбредёт проверить

[antbez]

UCH!

Поясните его расходимость. Признаки, мне известные, тут не работают. (Расходимости ряда, составленного из модулей данного, ведь недостаточно). Как-то через частичные суммы?

[TOTAL]

Попробуйте такой:

$$a_{3i}=i^{-1/3}}, \;\;a_{3i+1}=a_{3i+2}=-0.5a_{3i}$$

[ewert]

Есле разрешены комплексные члены, то пример очевиден: $\sum_n e^{2\pi in/3}\cdot u_n$. Если $u_n$ положительны и монотонно стремятся к нулю, то ряд сходится по признаку Абеля, а если при этом стремление к нулю достаточно медленное, то ряд из кубов расходится как знакоположительный.

Пример, приведённый Brukvalub'ом, скорее всего, сводится к этому каким-нибудь элементарным пересчётом, но вдумываться лень.

[antbez]

Цитата:

Пример, приведённый Brukvalub'ом

Мне кажется, что он сходится по признаку Дирихле. Признак Абеля тут не подходит.

TOTAL!

Это к исследованию на сходимось предложенного мной ряда? Подумаю

[вздымщик Цыпа]

Можно проще. Если $a_n = \sqrt[3]{\frac1n}$, то ряд $b_n$, такой, что $b_{3k} = a_k$, $b_{3k-1} = b_{3k-2} = -\frac12 a_k$ как раз таким и будет.

[ewert]

да, и впрямь Дирихле (я всегда их путаю)

[GAA]

вздымщик Цыпа писал(а):

Можно проще. Если $a_n = \sqrt[3]{\frac1n}$, то ряд $b_n$, такой, что $b_{3k} = a_k$, $b_{3k-1} = b_{3k-2} = -\frac12 a_k$ как раз таким и будет.

И исходный ряд, и ряд из кубов — сходятся по признаку Дирихле.