Задача по теории вероятности

[Kosat]

"Почтальон растерялся и положил 30 писем в 30 случайных конвертов. Какая вероятность того, что как минимум одно письмо положено в правильный конверт?"

Из 30 писем сначала можно выбрать 29 непоодходящих писем. Но этот наш выбор влияет на следующие, и что же делать?

[Ende]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: в соответствующий раздел.

[gris]

Только одна ситуация невозможна: уложить ровно 29 писем в свои конверты.
А у вас есть дополнительное событие: ни одно письмо не лежит в своём конверте.
Беспорядок! Он и есть .
А ваш почтальон называется перлюстратор

[мат-ламер]

Kosat
Я предлагаю такой план действий.
1) Почитайте про формулу включений-исключений.
2) Попробуйте решить задачу последовательно для двух, трёх, четырёх, пяти писем.
3) Выложите сюда ваши попытки решения и возникшие мысли (если таковые появятся).

[Kosat]

мат-ламер в сообщении #1602084 писал(а):

Kosat
Я предлагаю такой план действий.
1) Почитайте про формулу включений-исключений.
2) Попробуйте решить задачу последовательно для двух, трёх, четырёх, пяти писем.
3) Выложите сюда ваши попытки решения и возникшие мысли (если таковые появятся).

1. Прочитал.
2. Для небольших чисел можно организовать перебор. Например для трёх из 123, 132, 213, 231, 312, 321 нам нужны только 123, 132, 213, 321, то есть 4 из 6.
3. Что-то затрудняюсь подметить закономерность.

[мат-ламер]

Kosat в сообщении #1602099 писал(а):

2. Для небольших чисел можно организовать перебор.

Можно. А можно применить

мат-ламер в сообщении #1602084 писал(а):

Почитайте про формулу включений-исключений.

и представить результат как сумму-разность трёх чисел (которую вычислять пока не надо).

Kosat в сообщении #1602099 писал(а):

Что-то затрудняюсь подметить закономерность.

Согласен. Для одного $n$ её подметить сложно.

[Sdy]

Kosat,
Вы попробуйте сделать то что вам говорят, хотя бы вплоть до $5$ писем. На мой взгляд нащупать тут ответ для общего случая, не зная его заранее может быть затруднительно, но это классическая (как минимум встречающаяся в учебной литературе) учебная задача, Вам никто здесь не сможет просто взять и написать ответ.

[Kosat]

Я ж не спорю, что задача классическая. Вот выкладки для разных случаев:
2: 12, 21. Нужно 12. 1 из 2.
3: 123, 132, 213, 231, 312, 321. Нужно 123, 132, 213, 321. 4 из 6.
4: 1234, 1324, 2134, 2314, 3124, 3214, 1243, 1342, 2143, 2341, 3142, 3241, 1423, 1432, 2413, 2431, 3412, 3421, 4123, 4132, 4213, 4231, 4312, 4321. Нужно 1234, 1324, 2134, 2314, 3124, 3214, 1243, 1342, 1423, 1432, 2431, 4132, 4213, 4231. 14 из 24.
Надеюсь, нигде не ошибся. Для случая пяти совсем всё сложно.

Всё равно не вижу связи с формулой включений-выключений...

[Combat Zone]

Задача о рассеянной секретарше одно из названий (другие gris пытался подсказать). Google в помощь.

[Kosat]

Combat Zone в сообщении #1602111 писал(а):

Задача о рассеянной секретарше одно из названий (другие gris пытался подсказать). Google в помощь.

Нашёл, спасибо:
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0 ... 0%BA%D0%B0)#%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BF%D0%B8%D1%81%D1%8C%D0%BC%D0%B0%D1%85

Неожиданно глубокой оказалась..

[мат-ламер]

Kosat в сообщении #1602110 писал(а):

14 из 24.
Надеюсь, нигде не ошибся.

Ваши выкладки не проверял. У меня тут получилось: $24-12+4-1=15$.
Вариантов, когда совпадают $m$ из $n$ равно $C^m_n(n-m)!$ . Поскольку тут возникают многочисленные перекрытия, то тут надо воспользоваться формулой включений-исключений. Для $n=4$ получаем вариантов $C^1_4 \cdot 3!-C^2_4 \cdot 2! + C^3_4 \cdot 1! - C^4_4 \cdot 0!$ .