Копроизведения + коуравнители ----> универсальные квадраты

[EminentVictorians]

В упражнениях у Маклейна обнаружил очень классный факт, решил поделиться. Он заключается в достаточном условии для существования универсальных квадратов в некоторой категории $C$. Вообще, копроизведения, коуравнители, универсальные квадраты - это все частные случаи понятия копредела. Красота в том, что они, с одной стороны, довольно элементарные, а с другой стороны, они - как составные кирпичики - постоянно вылезают в самых разных местах и порождают супер мощные теоремы. Поэтому иметь в закромах такой признак - довольно полезно. Перейдем к формулировке и доказательству. Доказательств упражнений у Маклейна нету, поэтому доказывал я сам. Но вроде бы все чисто.

2. Покажите, что если в категории всегда существуют (бинарные) копроизведения и коуравнители, то в ней всегда существуют и универсальные квадраты. Примените этот результат в случаях $\mathbf{Set}$, $\mathbf{Grp}$ и $\mathbf{Top}$.

Доказательство:

Пусть $J$ - категория вида

$$\xymatrix{. \ar[d]_{} \ar[r]^{} & . \\ . & }$$

Надо доказать, что любой функтор $S: J \to C$ имеет копредел. Этот копредел и есть искомый универсальный квадрат.

Посмотрим на образ этого функтора в категории $C$:

$$\xymatrix{a \ar[dd]_{g} \ar[rr]^{f} & & b \\ & & \\ c & }$$

По условию, в $C$ всегда существуют (бинарные) копроизведения, значит существует и копроизведение $b \sqcup c$ (вместе с диаграммой). Нарисуем ее прямо внутри той диаграммы выше.

$$\xymatrix{a \ar[dd]_{g} \ar[rr]^{f} & & b \ar[dl]_{i} \\ & b \sqcup c & \\ c \ar[ru]^{j} & }$$

Здесь $i$ и $j$ - инъекции копроизведения.

Если на время забыть про вершины $b$ и $c$, то получится диаграмма вида

$$\xymatrix{a \ar@<1ex>[rr]^{fi}\ar@<-1ex>[rr]_{gj} & & b \sqcup c }$$

[композиция у меня, как обычно, пишется в таком же порядке, как действуют сами стрелки; на языке функций это выглядит так: $(fg)() = g(f())$]

А не будет ли часом коуравнителя для этой пары стрелок? Конечно же будет (т.к. по условию в $C$ всегда существуют коуравнители). Нарисуем его:

$$\xymatrix{a \ar@<1ex>[rr]^{fi}\ar@<-1ex>[rr]_{gj} & & b \sqcup c \ar[dl]^{u} \\ & r & }$$

А еще лучше нарисовать его сразу на той "полуквадратной" диаграмме выше:

$$\xymatrix{a \ar[dd]_{g} \ar[rr]^{f} & & b \ar[dl]_{i} \\ & b \sqcup c \ar[dr]^{u} & \\ c \ar[ru]^{j} & & r }$$

Дополним ее недостающими композициями:

$$\xymatrix{a \ar[dd]_{g} \ar[rr]^{f} & & b \ar[dl]_{i} \ar[dd]_{iu} \\ & b \sqcup c \ar[dr]^{u} & \\ c \ar[ru]^{j} \ar[rr]^{ju}& & r }$$

и посмотрим, не будет ли данный квадрат коммутативным.

Имеем:

$$f(iu) = fi(u) = gj(u) = g(ju)$$

(второе равенство обеспечивается тем, что $u$ - коуравнитель для $fi$ и $gj$)

Квадрат получился коммутативным, и это очень хорошая новость. Посмотрим, не будет ли этот квадрат универсальным квадратом. Возьмем произвольный элемент $s \in C$ вместе с парой стрелок $h: b \to s$ и $k: c \to s$, такими что $fh = gk$. На диаграмме это будет выглядеть так:

$$\xymatrix{a \ar[dd]_{g} \ar[rr]^{f} & & b \ar[dl]_{i} \ar[dd]_{iu} \ar[dddr]^{h} \\ & b \sqcup c \ar[dr]^{u} & \\ c \ar[ru]^{j} \ar[rr]^{ju} \ar[drrr]^{k} & & r \\ & & & s }$$

Т.к. $\xymatrix{c \ar[r]^{j} & b \sqcup c & b \ar[l]_{i} & }$ является диаграммой копроизведения элементов $b$ и $c$, то для стрелок $h: b \to s$ и $k: c \to s$ существует единственная стрелка $p: b \sqcup c \to s$ такая, что $ip = h$ и $jp = k$. На диаграмме это будет выглядеть следующим образом:

$$\xymatrix{a \ar[dd]_{g} \ar[rr]^{f} & & b \ar[dl]_{i} \ar[dd]_{iu} \ar[dddr]^{h} \\ & b \sqcup c \ar[dr]^{u} \ar @{-->} @/_/ [ddrr]_(0.6){p} & \\ c \ar[ru]^{j} \ar[rr]^{ju} \ar[drrr]_{k} & & r \\ & & & s }$$

Вспомним, что $u: b \sqcup c \to r$ является коуравнителем для $fi$ и $gj$. Из того, что $(fi)p = f(ip) = fh = gk = g(jp) = (gj)p$ следует, что существует единственная стрелка $t: r \to s$ такая, что $p = ut$. На той небольшой диаграмме для коуравнителя это будет выглядеть следующим образом:

$$\xymatrix{a \ar@<1ex>[rr]^{fi}\ar@<-1ex>[rr]_{gj} & & b \sqcup c \ar[dl]^{u} \ar @/^/ [ddl]^(0.6){p} \\ & r \ar @{-->} [d]_{t} & \\ & s & }$$

Нарисуем эту стрелку $t$ на нашей основной диаграмме:

$$\xymatrix{a \ar[dd]_{g} \ar[rr]^{f} & & b \ar[dl]_{i} \ar[dd]_{iu} \ar[dddr]^{h} \\ & b \sqcup c \ar[dr]^{u} \ar @{-->} @/_/ [ddrr]_(0.6){p} & \\ c \ar[ru]^{j} \ar[rr]^{ju} \ar[drrr]_{k} & & r \ar [dr]^{t} \\ & & & s }$$

Получаем:

$$h = ip = i(ut) = (iu)t$$

$$k = jp = j(ut) = (ju)t$$

Для доказательства универсальности осталось доказать единственность стрелки $t$.

Очевидно, что такая стрелка $t$ единственна. В самом деле, предположим, что нашлась еще одна стрелка $t': r \to s$, $t' \ne t$ такая, что $h = (iu)t'$ и $k = (ju)t'$. Тогда $h = (iu)t' = i(ut')$ и $k = (ju)t' = j(ut')$. В силу универсальности копроизведения $b \sqcup c$ получаем, что $ut' = p$, а это уже в свою очередь противоречит универсальности коуравнителя $u$.

С учетом единственности стрелки $t$, выделим ее пунктирной штриховкой, и основная диаграмма примет следующий итоговый вид:

$$\xymatrix{a \ar[dd]_{g} \ar[rr]^{f} & & b \ar[dl]_{i} \ar[dd]_{iu} \ar[dddr]^{h} \\ & b \sqcup c \ar[dr]^{u} \ar @{-->} @/_/ [ddrr]_(0.6){p} & \\ c \ar[ru]^{j} \ar[rr]^{ju} \ar[drrr]_{k} & & r \ar @{-->} [dr]^{t} \\ & & & s }$$

Таким образом, мы доказали существование и единственность стрелки $t$ такой, что для произвольного объекта $s \in C$ и произвольной пары стрелок $h: b \to s$ и $k: c \to s$ таких, что $fh = gk$ выполняется $h = (iu)t$ и $k = (ju)t$. А это в точности означает, что квадрат

$$\xymatrix{a \ar[dd]_{g} \ar[rr]^{f} & & b \ar[dd]_{iu} \\ & & \\ c \ar[rr]^{ju}& & r }$$

является универсальным квадратом.

Ввиду произвольности выбора функтора $S: J \to C$ можно заключить, что в категории $C$ всегда существуют универсальные квадраты, что и требовалось доказать. $\qedsymbol$

Я пожалуй на этом и закончу, т.к. проверка всего этого дела для категорий $\mathbf{Set}$, $\mathbf{Grp}$ и $\mathbf{Top}$ - это уже дело техники, а букв и так немало получилось.

[пианист]

А где это дело преподается?

[EminentVictorians]

EminentVictorians в сообщении #1601674 писал(а):

Имеем:

$$f(iu) = fi(u) = gj(u) = g(ju)$$

Здесь опечатка, не то в скобки взял. Должно быть:

$$f(iu) = (fi)u = (gj)u = g(ju)$$

пианист в сообщении #1601724 писал(а):

А где это дело преподается?

Не знаю, я к академической среде никакого отношения не имею. Я учу чисто по книжке Маклейна. И раз уж выдался случай, скажу, что, на мой взгляд, эта книга - одна из самых понятных и комфортных для чтения.

[пианист]

EminentVictorians в сообщении #1601745 писал(а):

Не знаю, я к академической среде никакого отношения не имею.

Так а что, собс-но, обсудить предлагается?

Prorab в сообщении #222462 писал(а):

Данный форум предназначен для обсуждения методологических вопросов преподавания различных дисциплин в школе и высших учебных заведениях.

[EminentVictorians]

пианист, Вы как-то уж чересчур формально к делу подходите

Факт правда классный, мне очень понравился. Обсуждать можно очень многое. На те же коуравнители можно смотреть как на функтор - левый сопряженный к диагональному $\Delta: C \to C^J$, где $J$ - катеория с двумя параллельными неединичными стрелками. Так же интересно, что левые (в сопряжении) функторы сохраняют вообще все копределы (и если какой-то функтор не сохраняет, то значит у него нету правого сопряженного). Вообще, про коуравнители и сопряженные функторы есть целая плеяда очень мощных теорем. Коуравнители встречаются в формулировке теоремы Бека, а это тоже очень приятная вещь. А еще, если у нас есть информация про все (не обязательно конечные) копроизведения и коуравнители, то есть полная информация про все копределы вообще (но я этот факт пока не доказывал). Про универсальные квадраты тематика такая же огромная.

Да и вообще, потренировался коммутативные диаграммы рисовать, тоже неплохо))

[Ende]

Тема перемещена из форума «Вопросы преподавания» в форум «Математика (общие вопросы)»
Причина переноса: разговор не о преподавании, а о математике.

[пианист]

По моему, сугубо техническое. Раскладывание новых слов по полочкам.
Если кому-то интересно, это упражнение 2 к разделу 3.3. В книжечке уважаемого george66 двойственная версия этого дела т.18.19.