Задача на усреднение с тензорами

[intex2dx]

Добрый день. Решаю такую задачу:
Вычислить средние значения произведений компонент единичных векторов:

$$<n_i>, <n_i n_j>, <n_i n_j n_k>, <n_i n_j n_k n_l>, <n_i n_j n_k n_l n_m> $$

Усреднение производится по окружности, перпендикулярной единичному вектору $h_i h_i = 1$, при этом $n_i n_i = 1$

Я пробовал решать так. Искомые усреднения, очевидно, являются тензорами. Перейдём к ОНБ, в котором орт $\vec{k} = \vec{h}$ и вычислим в нём компоненты тензоров. С $T_i = <n_i>$ всё просто: в новом базисе $T_i' = 0 \ (\forall i)$, поэтому $<n_i> = T_i = 0 \ (\forall i)$
Аналогично и для $<n_i n_j n_k>$ и $<n_i n_j n_k n_l n_m>$, ибо на двумерном пространстве инвариантные тензоры 3 и 5 ранга нулевые.
Сложности возникают с тензорами 2 и 4 ранга.

Будем искать $T_{ij} = <n_i n_j>$. Очевидно, что в новом базисе $T_{ij}'$ обнуляется, если $i = 3$ или $j = 3$. Случай, когда $i, j \in \overline{1, 2}$ - двумерный. Если теперь рассматривать $T_{ij}'$ как двумерный тензор, то он инвариантен, поэтому:

$$T_{ij}' = \lambda_1 \delta_{ij} + \lambda_2 \varepsilon_{ij}$$

Так как $T_{ij}' = T_{ji}'$, то $\lambda_2 = 0$, поэтому:

$$T_{ij}' = \lambda_1 \delta_{ij} = ... = \frac{1}{2} \delta_{ij}$$

Таким образом, если $\alpha_{ij}$ - матрица перехода к новому базису, то:

$$T_{ij} = \frac{\alpha_{i1} \alpha_{j1} + \alpha_{i2} \alpha_{j2}}{2}$$

Но тут нужны подробности о матрице перехода, что приводит к громоздким вычислениям, ведь мы знаем о ней только третий столбец ($\alpha_{i3} = h_i$)

Проблема с $<n_i n_j n_k n_l>$ заключается в том, что я не знаю, как записать инвариантный тензор 4 ранга на двумерном пространстве. Понятно, что это должно быть что-то вроде линейной комбинации таких произведений:

$$(\lambda_1 \delta_{ij} + \lambda_2 \varepsilon_{ij}) \cdot (\lambda_3 \delta_{kl} + \lambda_4 \varepsilon_{kl})$$

Но ведь:

$$\varepsilon_{ij} \varepsilon_{kl} = \delta_{ik} \delta_{jl} - \delta_{il} \delta_{jk}$$

Поэтому не совсем понятно, как тут сгруппировать слагаемые.

Возможно у этой задачи есть более простой способ решения, тогда прошу поделиться им.

[svv]

Я думаю, в этой задаче не нужно искать красивый инвариантный вид тензора (он есть, но малополезен), а достаточно вычислить значения всех его компонент в декартовом ортонормированном базисе. Используется только этот базис, поэтому матрица перехода не нужна.
В качестве параметра на окружности удобно взять угол $\varphi$ цилиндрической системы координат (что не означает перехода в эту систему). Теперь можно записать декартовы компоненты $\mathbf n$:
$n_1=\cos\varphi$
$n_2=\sin\varphi$
$n_3=0$
Компоненты $n_{i_1}n_{i_2}...n_{i_k}$ с хоть одним индексом, равным $3$, сразу отбрасываем. Остальные равны
$f_{ab}(\varphi)=\cos^a\!\varphi\sin^b\!\varphi,$
где $a$ — число индексов, равных $1$, и $b$ — число индексов, равных $2$. Эту функцию и надо усреднить по окружности:
$\langle n_{i_1}n_{i_2}...n_{i_k}\rangle=\langle f_{ab}\rangle=\frac 1{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} \cos^a\!\varphi\sin^b\!\varphi\,d\varphi$
Если хоть одно из чисел $a,b$ нечётно, $\langle f_{ab}\rangle=0$.
Примеры ненулевых значений: $\langle f_{04}\rangle=\langle f_{40}\rangle=\frac 3 8,\;\langle f_{22}\rangle=\frac 1 8$.

P.S. Аккуратные угловые скобочки кодируются \langle и \rangle .

[intex2dx]

svv,
В исходной задаче требуется найти усреднения компонент вектора $\vec{n}$ именно в исходном ОНБ. На сколько я понимаю, Вы решаете задачу в базисе, в которой один из ортов направлен по вектору $\vec{h}$, что действительно делается достаточно тривиально. Иными словами, ответ на задачу должен зависеть от координат вектора $\vec{h}$.

Возможно, мне стоит переформулировать свой вопрос, поскольку я нашёл более простое, чем моё, решение данной задачи. В нём, например, усреднение $\langle n_i n_j \rangle$ ищется в виде:

$$\langle n_i n_j \rangle = C \delta_{ij} + D h_i h_j $$

,
где коэффициенты $C, D$ находятся из частных случаев.

Усреднение $\langle n_i n_j n_k n_l \rangle$ ищется в таком виде:

$$\langle n_i n_j n_k n_l \rangle = C_1 (\delta_{ij} \delta_{kl}+ \delta_{ik} \delta_{jl} + \delta_{il} \delta_{jk}) + C_2 h_i h_j h_k h_l + C_3 (\delta_{ij} h_k h_l + \delta_{ik} h_j h_l + \delta_{il} h_j h_k + \delta_{jk} h_i h_l + \delta_{jl} h_i h_k + $$ $$ + \delta_{kl} h_i h_j)$$

Собственно, мой вопрос: почему мы можем искать ответы именно в таком виде?

[svv]

intex2dx в сообщении #1601704 писал(а):

В исходной задаче требуется найти усреднения компонент вектора $\vec{n}$ именно в исходном ОНБ.

Куча вопросов.
А что за исходный базис? Что о нём известно? Одного вектора $\mathbf h$ для его задания недостаточно. В условии как-то задана связь исходного базиса с тем базисом, в котором я решал?
Вы привели условие в изначальном виде, или что-то опустили?
Почему нельзя решить в том базисе, в котором проще, а потом тривиально пересчитать к исходному — разве не для этого, в том числе, придумана тензорная наука?
Я вообще правильно понял условие? В каждой точке окружности единичный вектор $\mathbf n$ лежит в плоскости окружности и направлен от центра:

И потом, тензорные формулы, вроде этой:
$\langle n_i n_j \rangle = C g_{ij} + D h_i h_j $
пишутся в виде, справедливом в произвольном базисе, то есть никакой конкретный базис не подразумевается. Это — инвариантная форма записи. И ради этого тоже тензорная наука придумана.

[intex2dx]

Заранее прошу прощения за криво вставленные цитаты.

svv в сообщении #1601709 писал(а):

intex2dx в сообщении #1601704 писал(а):

В исходной задаче требуется найти усреднения компонент вектора $\vec{n}$ именно в исходном ОНБ.

А что за исходный базис? Что о нём известно? Одного вектора $\mathbf h$ для его задания недостаточно. В условии как-то задана связь исходного базиса с тем базисом, в котором я решал?

Исходный базис - некоторый произвольный базис. А положение окружности и, в частности, вашего базиса, как раз таки однозначно задаётся вектором $\textbf{h}$, координаты которого в исходном базисе известны.

svv в сообщении #1601709 писал(а):

intex2dx в сообщении #1601704 писал(а):

В исходной задаче требуется найти усреднения компонент вектора $\vec{n}$ именно в исходном ОНБ.

Вы привели условие в изначальном виде, или что-то опустили?

Условие приведено в изначальном виде.

svv в сообщении #1601709 писал(а):

intex2dx в сообщении #1601704 писал(а):

В исходной задаче требуется найти усреднения компонент вектора $\vec{n}$ именно в исходном ОНБ.

Почему нельзя решить в том базисе, в котором проще, а потом тривиально пересчитать к исходному — разве не для этого, в том числе, придумана тензорная наука?

В том-то и заключается проблема, которую я встретил в своём решении - я получил ответ в более удобном базисе, но не смог получить ответ в базисе исходном (ибо это привело к громоздким вычислениям), хотя ответ должен однозначно выражаться через компоненты вектора $\textbf{h}$

svv в сообщении #1601709 писал(а):

intex2dx в сообщении #1601704 писал(а):

В исходной задаче требуется найти усреднения компонент вектора $\vec{n}$ именно в исходном ОНБ.

Я вообще правильно понял условие? В каждой точке окружности единичный вектор $\mathbf n$ лежит в плоскости окружности и направлен от центра:

Да, правильно. На всякий случай приложу свою картинку: https://imgur.com/a/oRjk04a

svv в сообщении #1601709 писал(а):

intex2dx в сообщении #1601704 писал(а):

В исходной задаче требуется найти усреднения компонент вектора $\vec{n}$ именно в исходном ОНБ.

И потом, тензорные формулы, вроде этой:
$\langle n_i n_j \rangle = C g_{ij} + D h_i h_j $
пишутся в виде, справедливом в произвольном базисе, то есть никакой конкретный базис не подразумевается. Это — инвариантная форма записи. И ради этого тоже тензорная наука придумана.

Разумеется, такую формулу можно написать в произвольном базисе. Но в произвольном базисе ответ зависит от координат вектора $\textbf{h}$ в нём. Вы же привели ответ только в одном из базисов, не указав, что будет в произвольном.
То есть вектор $\textbf{h}$ фиксирован и результат усреднения зависит от того, в каком базисе мы рассматриваем координаты вектора $\textbf{n}$. В частности, в вашем базисе всегда выполнено: $n_3 = 0$, поэтому $\langle n_i n_3\rangle = 0 $ при любых $i$. В другом базисе это будет неверно

[svv]

intex2dx в сообщении #1601704 писал(а):

Усреднение $\langle n_i n_j n_k n_l \rangle$ ищется в таком виде:

$$\langle n_i n_j n_k n_l \rangle = C_1 (\delta_{ij} \delta_{kl}+ \delta_{ik} \delta_{jl} + \delta_{il} \delta_{jk}) + C_2 h_i h_j h_k h_l + C_3 (\delta_{ij} h_k h_l + \delta_{ik} h_j h_l + \delta_{il} h_j h_k + \delta_{jk} h_i h_l + \delta_{jl} h_i h_k + $$

$$ + \delta_{kl} h_i h_j)$$

Собственно, мой вопрос: почему мы можем искать ответы именно в таком виде?

Что я здесь вижу, или могу предположить.
Есть метрический тензор $g_{ik}$, с помощью которого находится скалярное произведение двух векторов. В евклидовом пространстве и в ортонормированном базисе $g_{ik}=\delta_{ik}$, т.е. $\mathbf a\cdot \mathbf b=\delta_{ik}a_ib_k$

Во-первых, находится проекция метрического тензора на плоскость, ортогональную вектору $\mathbf h$. Она имеет вид
$\gamma_{ik}=\delta_{ik}-h_ih_k$
Геометрический смысл тензора $\gamma_{ik}$ — для двух векторов $\mathbf a, \mathbf b$ он определяет скалярное произведение их ортогональных проекций $\mathbf a_\perp, \mathbf b_\perp$ на плоскость, перпендикулярную $\mathbf h$:
$\mathbf a_\perp\cdot\mathbf b_\perp=\gamma_{ik} a_i b_k$
(в правой части исходные векторы, не проекции)

Во-вторых, из $\gamma_{ik}$ строится тензор четвёртого ранга $\gamma_{ik}\gamma_{\ell m}$. Он симметричен относительно перестановки индексов $i,k$, относительно $\ell,m$, а также относительно перестановки пары $i,k$ с парой $\ell,m$. Но он не абсолютно симметричен.

В-третьих, $\gamma_{ik}\gamma_{\ell m}$ симметризуется (с учётом уже имеющихся симметрий) с тем, чтобы получить абсолютно симметричный тензор. Сейчас нет времени описать подробнее.
Результат усреднения должен быть пропорционален результату этой симметризации.

[intex2dx]

Мне удалось найти достаточно простое объяснение этого решения.

Итак, ищем $\langle n_i n_j\rangle$. Нужен тензор, инвариантный относительно вращений вокруг оси $\vec{h}$. Первое, что приходит на ум: $\lambda \delta_{ij}$ (инвариантен относительно любых ортогональных преобразований). Но вектора вида $\lambda \vec{h}$ тоже инвариантны относительно вращения вокруг $\vec{h}$, поэтому $\lambda h_i h_j$ - тоже инвариантный тензор. В итоге:

$$\langle n_i n_j\rangle = C_1 \delta_{ij} + C_2 h_i h_j$$

Совершенно аналогично получается формула для $\langle n_i n_j n_k n_l \rangle$

[svv]

Ok.