Еще одна вступительная задача в МФТИ-1990

[Rasool]

Эта задача взята из журнала "Квант" №1, 1991, стр. 71.
Функция $y = \frac {1} {6} x^2+6x+56$ являются разностью кубов двух линейных функций. Найдите эти функции.

Если пойти по стандартному пути, то получим:

$$(ax+b)^3-(cx+d)^3 = (a^3-c^3)x^3+3(a^2b-c^2d)x^2+33(ab^2-cd^2)x+b^3-d^3$$

$$\begin{cases} 18a^2b-18a^2d=1\\ a(b^2-d^2)=2\\ b^3=56+d^3 \end{cases}$$

И дальше идут сложные уравнения.
Я догадался иcкать корни уравнения $\frac {1} {6} x^2+6x+56 = 0$, получил:

$$x=\frac {-6 +- \sqrt {36-112/3}} {1/3}$$

то есть действительных корней нет. Больше у меня идей не было.

[ozheredov]

Rasool в сообщении #1599648 писал(а):

$$\begin{cases} 18a^2b-18a^2d=1\\ a(b^2-d^2)=2\\ b^3=56+d^3 \end{cases}$$

1. Верно ли, что $c =a^3$?
2. У Вас $N$ букафф и три уравнения. Можно выбрать некоторые значения для $N-3$ букафф так, чтобы уравнения максимально упростились?

[Leeb]

Rasool в сообщении #1599648 писал(а):

Эта задача взята из журнала "Квант" №1, 1991, стр. 71.
Функция $y = \frac {1} {6} x^2+6x+56$ являются разностью кубов двух линейных функций. Найдите эти функции.

Если пойти по стандартному пути, то получим:

$$(ax+b)^3-(cx+d)^3 = (a^3-c^3)x^3+3(a^2b-c^2d)x^2+33(ab^2-cd^2)x+b^3-d^3$$

$$\begin{cases} 18a^2b-18a^2d=1\\ a(b^2-d^2)=2\\ b^3=56+d^3 \end{cases}$$

И дальше идут сложные уравнения.
Я догадался иcкать корни уравнения $\frac {1} {6} x^2+6x+56 = 0$, получил:

$$x=\frac {-6 +- \sqrt {36-112/3}} {1/3}$$

то есть действительных корней нет. Больше у меня идей не было.

Необходимо, чтобы $a=c$, иначе кубы не сократятся. Дальше надо раскрыть $(ax+b)^3-(ax+c)^3$ и получится уравнение на $b,\ c$, в котором можно попытаться подогнать красивые корни $b$ и $c$ (в общем случае, конечно, будет сложнее), затем подставить их в уравнение на $a$. У меня получилось с бумажкой менее чем за 10 минут, что как раз укладывается во время одной задачи вступительного экзамена.

[пианист]

Rasool
В третьем уравнении перенесите $d^3$ влево, потом разделите третье на первое и второе на первое, будут выражения $b+d$ и $b^2+bd+d^2$ через $a$, одно в квадрат, вычитаем оставшееся, получаем выражение для $bd$ через $a$. Получаем квадратное уравнение, корни которого $b,d$ (так как знаем $b+d$ и $bd$), там уже все решается.

[Rasool]

пианист в сообщении #1599653 писал(а):

Rasool
В третьем уравнении перенесите $d^3$ влево, потом разделите третье на первое и второе на первое, будут выражения $b+d$ и $b^2+bd+d^2$ через $a$, одно в квадрат, вычитаем оставшееся, получаем выражение для $bd$ через $a$. Получаем квадратное уравнение, корни которого $b,d$ (так как знаем $b+d$ и $bd$), там уже все решается.

Большое спасибо, плохо то, что сам не разглядел.

[пианист]

(Оффтоп)

Rasool в сообщении #1599654 писал(а):

плохо то, что сам не разглядел

Задача предполагает "натаскивание" на вступительную математику, от которой в мирной жизни пользы ноль. Так что сожалеть особо не о чем.

[Geen]

Rasool в сообщении #1599648 писал(а):

И дальше идут сложные уравнения.

Ну, не такие уж и сложные. Особено, если заметить, что везде есть $b-d$.

Rasool в сообщении #1599648 писал(а):

Я догадался иcкать корни уравнения

Лучше было бы найти вершину параболы... и сделать задачу более симметричной.

[Rak so dna]

Rasool иногда проще преобразовать два выражения к некоторому третьему виду:

$\dfrac{1}{6}x^2+6x+56 = \dfrac{1}{6}\left((x+18)^2+12\right)$

$(ax+b)^3-(ax+d)^3=3a^2(b-d)\left(\left(x+\dfrac{b+d}{2a}\right)^2+\dfrac{1}{12}\left(\dfrac{b-d}{a}\right)^2 \right)$

получаем совсем устную систему:

$\begin{cases} a^2(b-d)=\dfrac{1}{18}\\ \dfrac{b+d}{a}=36\\ \dfrac{b-d}{a}=12 \end{cases}$

[TOTAL]

Rasool в сообщении #1599648 писал(а):

Если пойти по стандартному пути, то получим:

$$(ax+b)^3-(cx+d)^3 = (a^3-c^3)x^3+3(a^2b-c^2d)x^2+33(ab^2-cd^2)x+b^3-d^3$$

Вот стандартный путь

$$([ax+b]+t)^3-([ax+b]-t)^3 = \dots$$