Противоречие в распределении давления (гидродинамика)

[tehnolog]

tehnolog в сообщении #1584996 писал(а):

В качестве такого контура выберем контур ABCD (порядок букв будет соответствовать направлению обхода контура).Ось y направлена перпендикулярно плоскости рисунка, от нас.

$$\oint\limits_{L} \mathbf{v_\varphi}\cdot{\mathbf{dl}}=\int\limits_{AB}\mathbf{v_\varphi}\cdot{\mathbf{dr}}+\int\limits_{BC}\mathbf{v_\varphi}\cdot{\mathbf{r}}\mathbf{d\varphi}+\int\limits_{CD}\mathbf{v_\varphi}\cdot{\mathbf{dr}}+\int\limits_{DA}\mathbf{v_\varphi}\cdot{\mathbf{r}}\mathbf{d\varphi}$$

Допустил неточность в первой формуле, точнее будет так:

$$\oint\limits_{L} \mathbf{v_\varphi}\cdot{\mathbf{dl}}=\int\limits_{AB}\mathbf{v_\varphi}\cdot{\mathbf{dr}}+\int\limits_{BC}\mathbf{v_\varphi}(r_2)\mathbf{r}\times\mathbf{d\varphi}+\int\limits_{CD}\mathbf{v_\varphi}\cdot{\mathbf{dr}}+\int\limits_{DA}\mathbf{v_\varphi}(r_1)\cdot{\mathbf{r}}\times\mathbf{d\varphi}=\int\limits_{BC}\omega(r_2) r_2^2d\varphi +\int\limits_{DA}\omega(r_1) r_1^2d\varphi $$

[amon]

Пусть контур - круг с центром в центре трубы. И что тогда?

[tehnolog]

amon в сообщении #1585025 писал(а):

Пусть контур - круг с центром в центре трубы. И что тогда?

В этом случае нельзя применять формулу Стокса, связывающую циркуляцию с потоком ротора. Потому-что условием ее применения служит непрерывность функции $\mathbf{V}$, и ее частных производных по координатам в рассматриваемой области. А данная функция скорости терпит разрыв на линии $r=0$.
В действительности, как я писал в своем первом сообщении, в пределах от оси вращения до некоторого радиуса $r=r_0$ (симметрично), образуется разреженное пространство (канал) с $P \approx 0$ (давление насыщенного пара жидкости). Можно посчитать циркуляцию и по линии радиуса $r_0$, но даже там если и определена функция $\mathbf{V}$, то не определены ее частные производные по координатам. Криволинейный интеграл, по любому контуру включающему точку/линию/поверхность разрыва функций будет иметь одно и тоже значение. Но ротор скорости во всей области поля скорости, кроме разрывной точки/поверхности/линии будет равен нулю. В области разрыва ротор скорости будет не определен. Можно ли тогда говорить, что течение жидкости является вихревым, если во всей области, где определены компоненты скорости и их частные производные по координатам $\operatorname{rot}\mathbf{V}=0$ ? Думаю нет.

[пианист]

tehnolog в сообщении #1585030 писал(а):

данная функция скорости терпит разрыв на линии $r=0$.

То есть в Вашей жидкости постоянно присутствует ударная волна?

[tehnolog]

пианист в сообщении #1585037 писал(а):

То есть в Вашей жидкости постоянно присутствует ударная волна?

Почему? Это шутка?
Давление на оси в гипотетической жидкости стремилось бы к "минус" бесконечности. На самом же деле происходит разрыв сплошности потока, и вдоль оси образуется канал из разреженного пространства. Этот канал постоянно присутствует в стационарном режиме течения.

[amon]

tehnolog в сообщении #1585069 писал(а):

На самом же деле происходит разрыв сплошности потока

У Вас жидкость идеальная, течение изоэнтропическое, все сжимаемости нулевые. Поэтому никакого канала нет. Реальная жидкость - отдельная песня. Поле скоростей

$$v_\varphi=\frac{\Gamma}{2\pi}\frac{1}{r}$$

это поле уединенной вихревой нити. См. Кочин Николай Евграфович, Кибель Илья Афанасьевич, Розе Николай Владимирович. Теоретическая гидромеханика, ч. 1 стр. 192, М., Физматгиз, 1963 г.,

[tehnolog]

amon в сообщении #1585073 писал(а):

См. Кочин Николай Евграфович, Кибель Илья Афанасьевич, Розе Николай Владимирович. Теоретическая гидромеханика, ч. 1 стр. 192, М., Физматгиз, 1963 г.,

Спасибо за книгу. Вопросы остались, но не буду их спешить озвучивать, пока не освою соответствующие разделы данной книги..

[tehnolog]

amon в сообщении #1585073 писал(а):

tehnolog в сообщении #1585069 писал(а):

На самом же деле происходит разрыв сплошности потока

У Вас жидкость идеальная, течение изоэнтропическое, все сжимаемости нулевые. Поэтому никакого канала нет. Реальная жидкость - отдельная песня. Поле скоростей

$$v_\varphi=\frac{\Gamma}{2\pi}\frac{1}{r}$$

это поле уединенной вихревой нити. См. Кочин Николай Евграфович, Кибель Илья Афанасьевич, Розе Николай Владимирович. Теоретическая гидромеханика, ч. 1 стр. 192, М., Физматгиз, 1963 г.,

Доброй ночи, участники форума Выкроил время... Вопросы остались после прочтения соответствующих разделов книги. Вот, например, понятно, что у меня поле уединенной вихревой нити. Но если рассматривать поле давления, то оно стремится к "минус" бесконечности при стремлении радиуса к нулю. Тогда, предположив, что все сжимаемости нулевые, как вы и написали, формально будет получаться картина этой самой уединенной вихревой нити. Но с другой стороны, если подойти ближе к реальности, можно предположить, что один раз по какой-то причине образовавшись, центральный канал (про который я писал) будет поддерживаться постоянно, и в нем будет давление равное нулю. А несжимаемая жидкость будет течь всё так же, не претерпевая сжатий и растяжений. Хорошо, не нравится Вам канал. Давайте на его место поместим ось из какого то материала. Жидкость будет вращаться вокруг этой оси, по такому же закону распределения скоростей одиночной вихревой нити. Но говорить в этом случае про поток ротора скорости, через элементарную площадку расположенную на оси вращения, уже не приходится. И вроде как движение становится безвихревым...

[amon]

tehnolog, Вы задали хороший вопрос, плохо освещенный в стандартных учебниках. К сожалению, сий секунд у меня мало времени, писать надо много, но через некоторое время я попытаюсь на него ответить. Пока подумайте над такой аналогией. Поле скоростей уединенной вихревой нити устроено так же как магнитное поле бесконечно тонкого провода. Все знают, что магнитное поле солиноидально, и скалярный потенциал для него придумывается с трудом, однако везде вне провода $\operatorname{rot}\mathbf{B}=0.$ Можно ли придумать такое распределение токов, что бы внутри цилиндрической области поле равнялось нулю, а вне было бы такое же как у тонкого провода?

[amon]

tehnolog в сообщении #1599240 писал(а):

Но говорить в этом случае про поток ротора скорости, через элементарную площадку расположенную на оси вращения, уже не приходится. И вроде как движение становится безвихревым...

Давайте начнем с определений (за строгость бъёмся без фанатизма).
Поле $a$ называется безвихревым в некоторой области, если в этой области $\operatorname{rot}a=0.$
Поле $\vec{a}(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$ называется потенциальным в области $\Omega$, если

$$\int\limits_{\text{по кривой из $A$ в $B$}}Pdx+Qdy+Rdz=u(B)-u(A),$$

где $u$ не зависит от кривой, лежащей в области $\Omega.$ Ясно, что в этом случае интеграл по замкнутому контуру, лежащем в $\Omega,$ равен нулю.

Бывают ли безвихревые непотенциальные поля? Бывают. Пример такого поля Вы, собственно, привели. Условие $\operatorname{rot}a=0$ является необходимым условием потенциальности. Достаточным оно становится, если область, в которой задано поле, односвязна. Это значит, что на любой контур можно натянуть поверхность, целиком лежащую в $\Omega,$ или, что эквивалентно, любой контур можно стянуть в точку. В Вашем случае коаксиальной трубы это не так. Контур, охватывающий внутреннюю трубу, нельзя стянуть в точку.

А что же с линиями ротора в такой ситуации? В этом месте помогает аналогия с электродинамикой (во времена Максвелла гидродинамику знали лучше, поэтому Максвелл приводил механические аналогии, сейчас - наоборот). Вашему полю скоростей

$$v_\varphi=\frac{\Gamma}{2\pi}\frac{1}{r}$$

в электродинамике (магнитостатике) соответствует поле уединенного бесконечно тонкого провода

$$H_\varphi=\frac{2J}{c}\frac{1}{r}.$$

Это можно интерпретировать как то, что мощность вихря $\Gamma$ является источником поля скоростей так же как ток $J$ является источником магнитного поля. Теперь попробуем создать магнитное поле вокруг конечного цилиндра такое, что внутри цилиндра оно - ноль, а снаружи такое же, как у провода, проходящего по оси цилиндра. Легко проверить, что такое поле создаст постоянный поверхностный ток, интеграл от которого кольцу равен $J.$ (Применяем теорему Стокса для окружности внутри и снаружи цилиндра.) То есть, источником такого поля являются поверхностные токи. Значит источником Вашего поля скоростей являются "поверхностные вихревые линии", плотно заполняющие поверхность внутреннего цилиндра. Аналогично с внешним цилиндром - там такие токи нужны, что бы уничтожить поле скоростей вне цилиндра. Если где-то геометрия поменяется, то эти линии могут либо оторваться от поверхности и собраться в вихревую линию в жидкости, либо прилипнуть к новой внутренней геометрии, либо и то, и другое. В реальной жидкости это одна из причин образования пограничного слоя вблизи стенок.

[tehnolog]

Спасибо. Вроде пока понятно.

Тут же задам вопрос, чтоб не плодить тему. Я вот пытаюсь рассчитывать профиль скоростей для жидкости текущей через усеченный конус (от основания к вершине), имеющий винтовые поверхности (равноотстоящие по фазе витка). Скажите, а может быть такое течение, чтоб векторная линия ротора скорости упиралась в винтовую поверхность?

[amon]

tehnolog в сообщении #1599486 писал(а):

Скажите, а может быть такое течение, чтоб векторная линия ротора скорости упиралась в винтовую поверхность?

Для идеальной жидкости есть теорема Гельмгольца о сохранении вихревых линий (см. параграф 4 главы 5 Кочина со товарищи). Она запрещает исчезновение вихревой линии. Максимум что может случиться - линия "расползется" по поверхности, как упоминалось выше. Надо, однако, отметить, что движение реальной жидкости может радикально отличаться от движения идеальной при сколь угодно малой вязкости.

[tehnolog]

Благодарю за ответ.