Неожиданное функциональное уравнение

[jacobmarls_68]

Вот такой вот вопрос: пусть есть такое уравнение $R^\alpha(x) = x + 1$.
где $\alpha$ - вещественное число, $R(x)$ - любая вещественная функция. В данном случае "степень" функции - это не степень, а итерация функции, то есть многократная композиция функции с собой. Вопрос: для каких функций R(x) существует такое $\alpha$, что уравнение выполняется? Известно, что не для всех (есть контрпример $R(x) = cx, c \in \mathbb{R}$, однако есть и примеры решений, к примеру $R(x) = x + c, c \in \mathbb{R}$. Помогите найти другие функции, удовлетворяющие этому уравнению. В голову ничего не приходит, а дай мне еще пару решений - пожалуй, до остальных бы дошел, ничего сложного.

[Anton_Peplov]

jacobmarls_68 в сообщении #1598658 писал(а):

где $\alpha$ - вещественное число

А точно не натуральное? Чему в Ваших обозначениях равно $\sin^\alpha(1)$ при $\alpha = 1/2$ ? Можно взять синус от единицы и синус от этого синуса, а как взять синус от единицы полраза?

[jacobmarls_68]

Anton_Peplov в сообщении #1598671 писал(а):

jacobmarls_68 в сообщении #1598658 писал(а):

где $\alpha$ - вещественное число

А точно не натуральное? Чему в Ваших обозначениях равно $\sin^\alpha(1)$ при $\alpha = 1/2$ ? Можно взять синус от единицы и синус от этого синуса, а как взять синус от единицы полраза?

Можно и натуральное, но решений будет значительно меньше. Итерации можно обобщить на вещественные числа. К примеру, $g(x) = f^{1/n}(x)$ определяется как решение уравнения $g^n(x) = f(x)$. Далее, итерациями $f^{1/n}(x)$ можно получить обобщение на рациональные числа, а далее, переходя к пределу, и на вещественные.

[eugensk]

jacobmarls_68

А есть ссылка на работу где такое обобщение был проведено? Не может ли оказаться, что для разных подходов будут получаться разные, скажем, $f\to f^{(\pi)}$ ?

[Padawan]

Если бы мы рассматривали отображение в окрестности его неподвижной точки, то можно было бы найти решение в виде формального степенного ряда (хотя он может оказаться расходящимся для нецелых показателей итерации). Можно сделать замену $x=1/z$, $x$ в окрестности бесконечности, $z$ в окрестности нуля, тогда отображение $x\mapsto x+1$ примет вид $z\mapsto \frac{z}{1+z}$ и можно найти однопараметрическую подгруппу в виде формального степенного ряда. Решение будет единственно, в классе отображений вида $\varphi^{\circ t}(z)=z+a_2(t)z^2+\ldots$, а именно $\varphi^{\circ t}(z)=\frac{z}{1+tz}$.

[Combat Zone]

jacobmarls_68 в сообщении #1598658 писал(а):

однако есть и примеры решений, к примеру $R(x) = x + c, c \in \mathbb{R}$. Помогите найти другие функции, удовлетворяющие этому уравнению.

А есть основания думать, что существуют другие? Вроде бы, это все (при условии, что $c$ ненулевое и $\alpha$ тоже). Уже из определения.

[mihaild]

Combat Zone в сообщении #1598762 писал(а):

А есть основания думать, что существуют другие?

Ну разрывные, если принять аксиому выбора, точно существуют и другие.