С формальной точки зрения тут все дело в символе Леви-Чевита

, который иногда (формально неверно) называют единичным асимметричным тензором третьего ранга. Он не тензорно преобразуется при инверсии (вообще не меняется), поэтому это вообще не тензор и откуда вся путаница.
Скажу даже больше того. Существует как минимум два символа Леви-Чивиты, с верхними индексами

и с нижними

. Оба они не тензоры, потому что первый - трижды контравариантная тензорная плотность, а второй - трижды ковариантная тензорная антиплотность. По этой причине они преобразуются таким образом, что их компоненты не меняются, т.е. остаются равными

,

и

. А их полная свёртка

всегда остаётся равной

, т.е. является константой. Надо заметить, что это - очень удобный инструмент тензорного анализа, ибо, например, позволяет из дважды ковариантного антисимметричного тензора

сделать аксиальный вектор, вот таким образом:

. А ещё, это позволяет понять, что "аксиальный вектор" - это ни что иное, как векторная плотность, ибо получен он свёрткой тензорной плотности с тензором. Ну и, конечно, особый смак заключается во взаимно однозначном соответствии между антисимметричным дважды ковариантным тензором и аксиальным вектором, ибо трижды ковариантная векторная антиплотность

позволяет вернуться обратно к антисимметричному дважды ковариантному тензору, вот таким образом:

.
Было бы формально правильно определить два таких уже "честно" тензора: правый

и левый

, для которых

равняется единице в правой системе координат, и минус единице в левой системе координат. А для

наоборот.
Зря Вы это придумываете, только породите лишнюю путаницу. Нужно просто запомнить три вещи, касающиеся инверсии координат:
1) Координаты аксиального вектора не меняются (в отличие от координат истинного вектора), потому что он - на самом деле плотность.
2) Координаты дважды ковариантного антисимметричного тензора не меняются, потому что он - тензор второго ранга (а минус на минус даёт плюс).
3) Символы Леви-Чивиты обоих видов не меняются в силу их законов преобразования.
Аксиальный вектор индексируется одним индексом, а не двумя как тензор второго ранга
Выше я привёл формулу преобразования антисимметричного тензора второго ранга в аксиальный вектор:

. Если Вы посмотрите на неё внимательнее, то увидите, что три независимые компоненты этого тензора просто переставляются в компоненты аксиального вектора:

,

,

.
Инвертирование объекта выражается в инвертировании координат векторов которыми объект определен.
Ещё раз: Не путайте преобразование пространства (содержащихся в нём объектов) с преобразованием координат. Вот простое упражнение: Нарисуйте на бумаге оси декартовых координат и объект - вектор

, проведённый из центра координат. Нетрудно убедиться, что вектор составляет угол 45 градусов с осью

. Поверните вектор на 30 градусов по часовой стрелке. Теперь вектор составляет угол 15 градусов с осью

. А что было бы, если бы мы то же преобразование (поворот на 30 градусов по часовой стрелке) применили к системе координат? Во-первых, угол вектора с осью

составил бы 75 градусов. Во-вторых, оси координат переслали бы быть параллельными соответствующим краям столешницы. А вот вектор, как был направлен под углом 45 градусов к краям столешницы, так и должен остаться.