Связь дифференцируемости и непрерывной дифференцируемости

[Podola]

Здравствуйте, подскажите пожалуйста, в чем разница определений дифференцируемлсти и непрерывной дифференцируемости функций нескольких переменных
Разве они требует не одного и того же условия: непрерывности частных производных в точке?

[Ende]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: темы, в которых нужно что-то объяснить или подсказать в пределах учебных курсов, создаются в этом разделе.

[mihaild]

А Вы знаете какую-нибудь функцию, которая является дифференцируемой, но не непрерывно дифференцируемой?

[Dedekind]

Podola
И приведите, пожалуйста, определения

Podola в сообщении #1598209 писал(а):

дифференцируемлсти и непрерывной дифференцируемости

которыми Вы пользуетесь.

[Podola]

Dedekind в сообщении #1598216 писал(а):

Podola
И приведите, пожалуйста, определения

Podola в сообщении #1598209 писал(а):

дифференцируемлсти и непрерывной дифференцируемости

которыми Вы пользуетесь.

По определению, функция непр. диф. в точке, если её частные проивзодные в этой точке непрерывна
А непрерывность частных производных для просто диф. (Помимо существования частных проиводных в некоторой окрестности этой точки) - это достаточное условие дифференцируемости
Просто существует ли функция для многих переменных, которая была бы диф. но не непр. диф в точке
Или даже наоборот
Подскажите пожалуйста

-- 19.06.2023, 15:36 --

mihaild в сообщении #1598215 писал(а):

А Вы знаете какую-нибудь функцию, которая является дифференцируемой, но не непрерывно дифференцируемой?

Не знаю, не могу придумать или найти
Буду рад если подскажете

[Ende]

Podola
Не сокращ. слова пжлст

[Combat Zone]

Кажется, это какой-то известный пример.
Что-то осциллирующее. Типа
$f(x,y)=\begin{cases} 0,&\text{если }x=y=0;\\ (x^2+y^2)\sin\sqrt {1/(x^2+y^2)},&\text{иначе}\\ \end{cases}$
$f$ дифференцируема (всюду, и в нуле в частности), но непрерывно дифференцируемой не является. Частные производные разрывны.
Собака порылась в том, что условие непрерывности частных производных - достаточное.
За счет степени первого множителя можно регулировать класс гладкости.

[mihaild]

Podola в сообщении #1598218 писал(а):

Не знаю, не могу придумать или найти

Стандартный источник для таких вопросов - Гелбаум, Олмстед "Контрпримеры в анализе".
Пример ровно того, о чем Вы спрашивали - глава 9, параграф 9.
Но вообще это очень хорошее упражнение, советую попробовать подумать над ним больше нескольких минут прежде чем смотреть ответ.
Хотя бы для одномерного случая (дифференцируемая функция с разрывной производной).

[Podola]

Всем спасибо