Вопрос про О-большое

[Mad_Max]

Следующее определение взято из книжки Зорича и я вроде неплохо знаком с ними, но я заметил одну деталь, которую я не замечал раньше.

Определение 1. Совокупность $\mathcal{B}$ подмножеств $B\subset X$ множества $X$ будем называть базой в множестве $X$, если выполнены два условия:

1. $\forall B\in \mathcal{B} \ (B\neq \varnothing)$;

2. $\forall B_1\in \mathcal{B} \ \forall B_2\in \mathcal{B} \ \exists B\in \mathcal{B} \ (B\subset B_1\cap B_2)$

Определение 2. Условимся говорить, что некоторое свойство функций или соотношение между функциями выполнено финально при данной базе $\mathcal{B}$, если найдется элемент $B\in \mathcal{B}$ базы, на котором оно имеет место.

Определение 3. Условимся, что запись $f=O(g)$ при базе $\mathcal{B}$ будет означать, что финально при базе $\mathcal{B}$ выполнено соотношение $f(x)=\beta(x)g(x)$, где $\beta(x)$ финально ограниченная при базе $\mathcal{B}$ функция.

Давайте распишем определение 3 более подробно. Запись $f=O(g)$ при базе $\mathcal{B}$ означает, что $\exists \beta:X\to \mathbb{R}$ и $\exists B_1\in \mathcal{B}$ такое, что $\forall x\in B_1$ мы имеем $f(x)=\beta(x)g(x)$ и $\exists B_2\in \mathcal{B}$ такое, что $\forall x\in B_2$ мы имеем $|\beta(x)|\leq C$.

По определению базы следует, что $\exists B_3\subset B_1\cap B_2$ и мы замечаем, что $\forall x\in B_3$ мы имеем $|f(x)|=|\beta(x)||g(x)|\leq C|g(x)|$.

Можем ли мы это резюмировать так?

Если $f(x)=O(g(x))$ при базе $\mathcal{B}$, тогда $\exists C>0 \exists B_3\in \mathcal{B}: \forall x\in B_3 \ (|f(x)|\leq C|g(x)|)$

Я не думаю, что так можно сделать поскольку постоянная $C>0$ зависит от $B_3$ и $B_3$ зависит от функции $\beta$.

Например, Википедия говорит, что $f(x)=O(g(x))$ при $x\to +\infty$ означает, что существует положительное вещественное число $M$ и вещественное число $x_0$ такое, что

$$|f(x)|\leq M|g(x)| \quad \text{for all} \quad x\geq x_0.$$

Я был бы крайне благодарен за объяснение! Возможно я что-то не так понимаю! Спасибо Вам!

[Combat Zone]

Mad_Max в сообщении #1598159 писал(а):

Можем ли мы это резюмировать так?

Если $f(x)=O(g(x))$ при базе $\mathcal{B}$, тогда $\exists C>0 \exists B\in \mathcal{B}: \forall x\in B \ (|f(x)|\leq C|g(x)|)$

Можем.

Mad_Max в сообщении #1598159 писал(а):

Я не думаю, что так можно сделать поскольку постоянная $C>0$ зависит от $B_3$ и $B_3$ зависит от функции $\beta$.

Да, конечно, если выбрать и фиксировать первым элемент базы, где будет финальная ограниченность беты, то для него будет своя мажорирующая константа (для каждого элемента - своя). Но можно и наоборот. По мажорирующей константе - она ведь существует, - искать элемент базы. Константа меняется - элемент базы тоже. Кванторы существования переставлять можно, потому все это непринципиально, лишь бы найти какие-то - и то, и другое. Вот как в последнем определении из Википедии.

[Mad_Max]

Combat Zone
Я не совсем понял вторую часть Вашего ответа. Можете как-то более подробно?
Как Вы сказали если так можно резюмировать, то почему так можно? Ведь константа зависит от элемента базы.

[Combat Zone]

Mad_Max в сообщении #1598162 писал(а):

Ведь константа зависит от элемента базы.

Давайте читать как у вас.

Mad_Max в сообщении #1598159 писал(а):

Если $f(x)=O(g(x))$ при базе $\mathcal{B}$, тогда $\exists C>0 \exists B_3\in \mathcal{B}: \forall x\in B_3 \ (|f(x)|\leq C|g(x)|)$

Существует С такая что....
Какой элемент базы? К этому моменту мы еще про нее и не вспомнили. Вы вспомните на следующем этапе, и вот там элемент базы будете выбирать по константе (возможно). А та константа впереди, которая С, она настоящая константа. Броня. Ни от чего не зависит.

Приведите себе пример. Ну например, $f(x)=(1+x)$, $g(x)=1$ при $x\to 0$.
$|1+x|\le 1+\varepsilon\le c\cdot 1$ на окрестности $(-\varepsilon, \varepsilon)$.
То есть существует $C$, существует $\varepsilon>0$ такие что для всех $x\in(-\varepsilon, \varepsilon)$ выполнено $|1+x|\le 1+\varepsilon\le c\cdot 1$
Возьмете $C=2$ - в качестве $\varepsilon$ можно взять 1.
Возьмете $C=1.05$ - в качестве $\varepsilon$ можно взять 0.05.

Но это без разницы.
Можно и наоборот. Брать элемент базы, лишь бы неравенство $|1+x|\le C \cdot 1$ выполнялось хоть при какой-то константе, и находить константу. Перестановка одинаковых кванторов (кванторов существования, кванторов общности) ничего не меняет.

Например, если искать константу для окрестности $x\in (-0.5,0.5)$, то $|1+x|\le C \cdot 1$ при $C=1.5$ (максимум в правой точке).

Еще более подробно не умею. По моему искреннему убеждению, это не тот случай, когда подробности помогают. Бывает, что они приводят к противоположному результату. .

[Mad_Max]

Вы не совсем поняли мой вопрос. Когда я спросил "можно ли резюмировать так? Если $f(x)=O(g(x))$ при базе $\mathcal{B}$, тогда $\exists C>0 \exists B_3\in \mathcal{B}: \forall x\in B_3 \ (|f(x)|\leq C|g(x)|)$", то мой вопрос заключался в том почему мы можем так делать ведь константа $C$ зависит от элементы и как-то зависящее мы можем выносить наперед от того, что она зависит.

[Combat Zone]

Mad_Max в сообщении #1598171 писал(а):

Вы не совсем поняли мой вопрос.

Мне трудно правильно понять ваш вопрос, я в третий раз пишу, что на порядок наплевать.
Можно существует константа по которой выбирается элемент базы.
Можно существует элемент базы по которому выбирается константа.
Вам второй нравится?
Да пожалуйста.
Раз вы выбрали элемент базы, а по нему уже константу, элемент базы фиксированный. Константа хоть и зависит от элемента базы, но он ведь фиксированный, конкретный, и значит, константа тоже вполне себе константа. После выбора элемента базы она не меняется (только может быть выбрана другим способом, поскольку все же нужно существование). Поймайте ее и не отпускайте никуда. А значение обозначьте буквой $C$.

Может, так будет лучше восприниматься, что вот она константа С, а вот он, выбранный элемент базы, да они связаны, а вот порядок совершенно неважен.

Combat Zone в сообщении #1598165 писал(а):

Но это без разницы.
Можно и наоборот. Брать элемент базы, лишь бы неравенство $|1+x|\le C \cdot 1$ выполнялось хоть при какой-то константе, и находить константу. Перестановка одинаковых кванторов (кванторов существования, кванторов общности) ничего не меняет.

Например, если искать константу для окрестности $x\in (-0.5,0.5)$, то $|1+x|\le C \cdot 1$ при $C=1.5$ (максимум в правой точке).

Вот, пожалуйста, пример. Что не так?