Равенство нулю угловых миноров

[artempalkin]

Задача 65.17 из Ким

В неотрицательно определенной матрице $H$ угловой минор порядка $k$ равен нулю. Доказать, что равны нулю все угловые миноры порядка выше $k$.

Честно говоря, даже не знаю, откуда начать... По идее что-то типа того: пусть в $H$ угловой минор порядка $k$ равен нулю. Вырежем тогда главную угловую матрицу порядка $k+1$. Она должна быть также неотрицательно определена. Но найдутся такие ненулевые вектора, что ее квадратичная форма на них даст $0$ (это будут соответствующие вектора с $k+1$ компонентой, у которых последняя компонента нулевая). Значит, она вырождена и $|H|=0$. Ну и так далее (типа, по индукции можно).

Но я никак, строго говоря, не использую неотрицательную определенность матрицы... Опять же, в действительном случае любая кососимметрическая матрица будет "неотрицательно определенной", при этом ее первый угловой минор будет точно $0$, но остальные-то от нуля могут отличаться... короче, несколько я запутался...

[intex2dx]

Возможно Вам стоит использовать критерий Сильвестра. Рассмотрим главную угловую матрицу порядка $k+1$. Она, очевидно, неотрицательно определена. Если бы она была она положительно определена, то все угловые миноры были бы больше нуля, что неверно, поэтому она вырождена (в нормальном виде на диагонали имеются нули). Отсюда следует, что $k+1$ минор равен нулю. И так далее по индукции

artempalkin в сообщении #1597943 писал(а):

Задача 65.17 из Ким
Опять же, в действительном случае любая кососимметрическая матрица будет "неотрицательно определенной", при этом ее первый угловой минор будет точно $0$, но остальные-то от нуля могут отличаться... короче, несколько я запутался...

Вообще, термин "неотрицательная определённость" вроде как применим только к симметричным матрицам/формам, и, в частности, в моём доказательстве симметричность существенна, поэтому у Вас и возникает противоречие. Для несимметричных матриц, как Вы заметили, утверждение не является верным.

[Евгений Машеров]

У меня подозрительно простое решение. Пусть x - k- элементный вектор , обращающий в 0 квадратичную форму $x^TM_kx$, где M - заданный угловой минор. Тогда, дополнив x нулями, получим вектор, обращающий в ноль определители угловых миноров большего порядка.

[artempalkin]

intex2dx в сообщении #1597981 писал(а):

Возможно Вам стоит использовать критерий Сильвестра. Рассмотрим главную угловую матрицу порядка $k+1$. Она, очевидно, неотрицательно определена. Если бы она была она положительно определена, то все угловые миноры были бы больше нуля, что неверно, поэтому она вырождена (в нормальном виде на диагонали имеются нули). Отсюда следует, что $k+1$ минор равен нулю. И так далее по индукции

Евгений Машеров в сообщении #1598006 писал(а):

У меня подозрительно простое решение. Пусть x - k- элементный вектор , обращающий в 0 квадратичную форму $x^TM_kx$, где M - заданный угловой минор. Тогда, дополнив x нулями, получим вектор, обращающий в ноль определители угловых миноров большего порядка.

Ну да, это в точности мое решение :) значит, все верно

intex2dx в сообщении #1597981 писал(а):

Вообще, термин "неотрицательная определённость" вроде как применим только к симметричным матрицам/формам, и, в частности, в моём доказательстве симметричность существенна, поэтому у Вас и возникает противоречие. Для несимметричных матриц, как Вы заметили, утверждение не является верным.

Да, по крайней мере в Ким, конечно, подразумевается симметричность. Подумав, я понял это.

Спасибо!