Близкие точки, которые делят периметр пополам

[Mirage_Pick]

Дан выпуклый многоугольник периметра 13. Известно, что существует пара точек, делящая периметр пополам, расстояние между которыми равно 6. Доказать, что существует пара точек, делящих периметр пополам, расстояние между которыми не превосходит 3.

[diletto]

Как на замкнутой ломаной длины 12 могут существовать две точки на расстоянии 6 ?

[Mirage_Pick]

diletto, исправил. Теперь условие не такое симпатичное, но что же поделать...

[wrest]

Периметр эллипса с осями 6 и 3 равен $\approx 14,9$ так что похоже на правду и в задаче можно поднять периметр многоугольника до 14.

[mathematician123]

Обозначим $A$, $B$ точки на расстоянии 6. Возьмём точки $C$, $D$ так что они делят периметр пополам и $AB$ перпендикулярно $CD$. Тогда расстояние между $C$ и $D$ меньше 3.

Точку пересечения $AB$ и $CD$ обозначим $F$. Тогда периметр исходного четырёхугольника не меньше чем периметр $ABCD$. Длины отрезков $AF, FB, CF, FD$ обозначим соответственно $c, 6 - c, a, b$. Тогда периметр равен

$$\sqrt{a^2 + c^2} + \sqrt{a^2 + (6 - c)^2} + \sqrt{b^2 + c^2} + \sqrt{b^2 + (6 - c)^2}$$

Минимум этого выражения достигается при $c = 3$ и равен

$$2\sqrt{a^2 + 9} + 2\sqrt{b^2 + 9}$$

При условии $a + b \ge 3$ данное выражение не меньше чем $6\sqrt{5} > 13$.

[Mirage_Pick]

mathematician123 в сообщении #1598051 писал(а):

При условии $a + b \ge 3$ данное выражение не меньше чем $6\sqrt{5} > 13$.

Значит, по факту периметр многоугольника можно взять равным $6\sqrt{5}...$ Можно доказать утверждение для многоугольника периметра $6\sqrt{3}+\pi,$ это чуть сложнее. А можно ли поднять периметр до 14 - тот еще вопрос, это мне видится существенно более сложным, если вообще не невозможным.

[mathematician123]

Похоже, что эллипс не является оптимальной фигурой. Если выпуклая фигура обладает следующими двумя свойствами, то любые две точки, делящие периметр пополам, находятся на расстоянии не меньше 3:

1) Фигура обладает центром симметрии.
2) Фигура полностью покрывает окружность диаметра 3 с центром, совпадающим с центром симметрии фигуры.

Вернёмся теперь к эллипсу с осями 6 и 3. Он удовлетворяет этим условиям. Но нам не нужен весь эллипс. Нам нужна минимальная выпуклая центрально симметричная фигура, содержащая окружность диаметра 3 и пару точек на расстоянии 6. Видно, что это не эллипс. Как минимум, его концы можно заострить. Но конкретные числа привести не могу.

[wrest]

Mirage_Pick в сообщении #1598060 писал(а):

А можно ли поднять периметр до 14 - тот еще вопрос, это мне видится существенно более сложным, если вообще не невозможным.

Я наверное недопонял условие. Берем правильный многоугольник (например тысячеугольник), вписанный в окружность диаметром 6.
Тогда между двумя любыми точками которые делят периметр пополам, будет расстояние около 6, при периметре около $6 \pi$
Что-то от меня тут ускользает.

[mathematician123]

Вот эта фигура. Окружность имеет диаметр 3, точки $A, B$ находятся на расстоянии 6.

[wrest]

mathematician123 в сообщении #1598130 писал(а):

Как минимум, его концы можно заострить.

Можно конечно, можно взять ромб с диагоналями 3 и 6 например.

[mathematician123]

wrest в сообщении #1598135 писал(а):

Можно конечно, можно взять ромб с диагоналями 3 и 6 например.

Мне сегодня днём также показалось, но нет. Возьмите прямую, перпендикулярную одной из сторон ромба, которая делит периметр пополам. Тогда расстояние между точками пересечения прямой и сторон ромба будет меньше 3.

[wrest]

mathematician123 в сообщении #1598136 писал(а):

Тогда расстояние между точками пересечения прямой и сторон ромба будет меньше 3.

Да. Я ж и говорю, что не понимаю суть задачи. Что надо максимизировать (или минимизировать)?

[mathematician123]

wrest в сообщении #1598138 писал(а):

Что надо максимизировать (или минимизировать)?

Нужно максимизировать периметр, при котором утверждение исходной задачи останется верным. В другой формулировке: какой минимальный периметр может иметь выпуклая фигура, обладающая следующими свойствами:

1) Существует пара точек на расстоянии 6, делящая периметр пополам.
2) Любая пара точек, делящая периметр пополам, находится на расстоянии не меньше 3.

Вариант такой фигуры я привёл выше. Интересно узнать какой у неё периметр.

[wrest]

mathematician123 в сообщении #1598141 писал(а):

Интересно узнать какой у неё периметр.

Если я правильно понял, дуги там по $\pi / 3$, их длина (в сумме) равна $2 \pi r /3$, при $r=1,5$ получается $1 \cdot \pi$
Четыре прямых участка $4\cdot \sqrt{3^2-1,5^2}=6 \sqrt{3}$ итого $6\sqrt{3}+ 1\cdot \pi \approx 13,53$

[mathematician123]

Видимо, $6\sqrt{3} + \pi$ и будет ответом. Mirage_Pick пишет, что умеет доказывать утверждение задачи для этого периметра.

Для фигур, обладающих центром симметрии, понятно как доказывать. Любая такая фигура, удовлетворяющая условиям

mathematician123 в сообщении #1598141 писал(а):

1) Существует пара точек на расстоянии 6, делящая периметр пополам.
2) Любая пара точек, делящая периметр пополам, находится на расстоянии не меньше 3.

должна содержать внутри себя ту фигуру периметра $6\sqrt{3} + \pi$ и, следовательно, иметь не меньший периметр.