сумма двух перестановок

[maxal]

Пусть вектор $(v_1,\dots,v_n)$ является покомпонентной суммой двух перестановок множества $[n]:=\{1,2,\dots,n\}$, причем $v_1\leq v_2\leq \dots\leq v_n$.
Докажите, что для каждого $i\in [n]$ справедливо неравенство:

$$i+1\leq v_i\leq i+n.$$

[Sinoid]

Так, ну для $v_1$ и $v_n$ все понятно: перестановки могут оставлять на месте как 1, так и $n$ (не исключая случая неподвижности обоих этих элементов перестановок). Поэтому $1+1\leq v_{1}$, а $v_{n}\leq n+n$. Но это так, детский лепет.

-- 18.06.2023, 06:25 --

$v_2$ не может быть 2, потому что 2 единственным образом представляется как сумма элементов этих перестановок и тогда для $v_1$ не оставалось бы (или не существовало бы) в перестановках слагаемых, из которых оно могло было бы быть получено.

[TOTAL]

Пусть $a_i+b_i=v_i < 1+i$
Тогда из неубывания $v_i$ имеем: $a_1, \dots,a_{i-1},b_1, \dots,b_{i-1} \le i-1$
Поэтому $a_i,b_i \ge i$. Противоречие.