Как научиться доказывать неравенства?

[Elly01]

В моем вопросе скорее кроется просьба научить меня думать, подсказать, как надо думать, чтобы научиться выполнять подобные задания, которые в курсе мат анализа для меня являются самыми сложными. Доказательства неравенств, ранее уже предельно понятно разобранные людьми, почему-то совершенно не наталкивают на хоть какие-то мысли при виде нового.

На примере упражнения 74 из Демидовича, никакие мысли, как можно сие доказать, в голову не пришли. При виде разбора этого неравенства на ютубе ужаснулся, что сам до этого своим умом не дошел. Очень прошу рассказать о ходе ваших мыслей при доказательстве неравенства. Что первым приходит в голову?

А также что можно посмотреть\почитать, чтобы уметь их доказывать? Или приходит такое только практикой? Спасибо.

[мат-ламер]

Elly01 в сообщении #1597878 писал(а):

Очень прошу рассказать о ходе ваших мыслей при доказательстве неравенства. Что первым приходит в голову?

Первое, что мне пришло в голову, это применить формулу Стирлинга. А второе, что мне пришло в голову, это посмотреть на номер задачи. И этот номер мне показывает, что Демидович имел в виду элементарное доказательство. Но думать над ним сразу как-то лень (На улице жара. Я только что пришёл и устал). Но на меня не равняйтесь. Я в этом деле ни разу не знаток.

Ещё приходит в голову воспользоваться индукцией.

-- Сб июн 17, 2023 13:10:49 --

Elly01 в сообщении #1597878 писал(а):

На примере упражнения 74 из Демидовича

Чего-то в моём Демидовиче такого упражнения нет.

[Евгений Машеров]

Картинки нет

[мат-ламер]

Elly01 в сообщении #1597878 писал(а):

Очень прошу рассказать о ходе ваших мыслей при доказательстве неравенства. Что первым приходит в голову?

мат-ламер в сообщении #1597879 писал(а):

Ещё приходит в голову воспользоваться индукцией.

На индукцию намекает присутствует в неравенстве факториала. Кроме того, вы видите в неравенстве число $e$ . Открываете учебник и смотрите, через какой предел определяется это число, какие при этом возникают неравенства.

-- Сб июн 17, 2023 15:35:24 --

Евгений Машеров в сообщении #1597887 писал(а):

Картинки нет

Требуется доказать: $(n \slash e)^n <n!<e(n/2)^n$ .

[ozheredov]

Евгений Машеров в сообщении #1597887 писал(а):

Картинки нет

Ага, а по ссылке page does not exist. Однако

мат-ламер в сообщении #1597879 писал(а):

Первое, что мне пришло в голову, это применить формулу Стирлинга.

мат-ламер в сообщении #1597879 писал(а):

Ещё приходит в голову воспользоваться индукцией.

То есть, мат-ламер таки видел это неравенство. Может быть, он доказывает все неравенства по индукции и через формулу Стирлинга? Стоп,

мат-ламер в сообщении #1597879 писал(а):

Чего-то в моём Демидовиче такого упражнения нет.

Значит он телепатически видит конкретное неравенство, которое не видит никто. Если серьезно, Касперский ругается на ссылку "Изображение" как на вредоносную.

-- 17.06.2023, 14:39 --

мат-ламер в сообщении #1597888 писал(а):

$(n \slash e)^n <n!<e(n/2)^n$

Ну как бы ежу понятно, что тут формула Стирлинга

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1597879 писал(а):

Чего-то в моём Демидовиче такого упражнения нет.

Извиняюсь! Совсем слепой стал. Есть!

Elly01 в сообщении #1597878 писал(а):

При виде разбора этого неравенства на ютубе

А вот и ролик соответствующий.

Однако, вопрос был глобальный:

Elly01 в сообщении #1597878 писал(а):

В моем вопросе скорее кроется просьба научить меня думать, подсказать, как надо думать

[Евгений Машеров]

Ну, я бы пробовал по индукции. Положим, мы считаем доказанным, что $a_i<b_i<c_i$ и переходим к следующему i. Если $\frac {a_{i+1}} {a_i}=p_i$ и аналогично, $\frac {b_{i+1}} {b_i}=q_i$ $\frac {c_{i+1}} {c_i}=r_i$ и при этом $p<q<r$, то...