Решение задачи с параметром

[TemplateRLC]

Не могу понять. как решить данную задачу с параметрами
$k_1+k_2 = \frac{k_3 \cdot k_4}{k_3 + k_4}$
Необходимо решить, чтобы все параметры были рациональными числами.
Мне удалось эмпирически найти одну четверку:
$k_1 = 0.6; k_2 = 0.2; k_3 = 1; k_4 = 4$

-- 14.06.2023, 21:45 --

Есть небольшие подвижки. Если получится, то покажу ход рассуждений

[пианист]

$k_1 = \frac{k_3k_4}{k_3 + k_4} - k_2,$ где $ k_2, k_3, k_4 \in \mathbb{Q}$?

[TemplateRLC]

Если k3=1, k4=2 не выходит уже

[TemplateRLC]

Получилось. Оформлю решение завтра

[Gepidium]

TemplateRLC в сообщении #1597587 писал(а):

Решение задачи с параметром

А где здесь параметр? Насколько я поняла, нужно решить уравнение с 4-мя неизвестными. Решить в рациональных числах. Так что ли?

[Gepidium]

Если так, то решений бесконечное множество.

TemplateRLC в сообщении #1597600 писал(а):

Оформлю решение завтра

Решение Вам уже выше оформил пианист.

[Евгений Машеров]

Берём произвольные рациональные $k_3, k_4$. Вычисляем правую часть. Затем выбираем произвольно рациональное $k_1$ и вычитаем его из правой части.
Извините, тут точно такая постановка задачи, или Вы что-то упустили?

[Gepidium]

Евгений Машеров в сообщении #1597633 писал(а):

Берём произвольные рациональные $k_3, k_4$. Вычисляем правую часть.

Наверное не совсем произвольные. Исключая конечно случай $k_3=-k_4$.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: темы, в которых нужно что-то объяснить или подсказать в пределах учебных курсов, создаются в этом разделе.

[TemplateRLC]

Евгений Машеров писал(а):

Извините, тут точно такая постановка задачи, или Вы что-то упустили?

Да, упустил. k1, k2, k3, k4 должно быть представлено как рациональное число, которое может быть представлено как обыкновенная дробь, но при этом ее можно было представить конечной десятичной дробью. То есть 2/7 не подойдет, а 1/4 подойдет, так как можно представить в виде десятичной дроби 0.25

Поэтому возник вопрос, как называется такое число?(которое можно представить как обыкновенную дробь и как конечную десятичную дробь)

[wrest]

TemplateRLC в сообщении #1597688 писал(а):

Поэтому возник вопрос, как называется такое число?(которое можно представить как обыкновенную дробь и как конечную десятичную дробь)

Так и называется: конечная десятичная дробь.

[TemplateRLC]

Но никак не рациональное число, верно?

[wrest]

TemplateRLC в сообщении #1597714 писал(а):

Но никак не рациональное число, верно?

Конечные десятичные дроби являются подмножеством обыкновенных дробей (рациональных чисел).
То есть: любая конечная десятичная дробь, например $0,25=1/4$ это рациональное число (обыкновенная дробь), но обратное неверно, существют обыкновенные дроби (рациональные числа) как например $1/3$ или $2/7$, которые не являются конечными десятичными дробями.
Конечными десятичными дробями являются такие рациональные числа (обыкновенные дроби) $x=p/q$ где $p$ - целое, а $q=2^n5^m$ где $n,m$ неотрицательные целые.

[TemplateRLC]

Итак, что вышло у меня(не совсем сошлось с сообщением wrest, где представление x)

Имеется $k_1 + k_2 = \frac{k_3 \cdot k_3}{k_3 + k_4}$
Найти такие $k_1, k_2, k_3, k_4 > 0$ чтобы левая и правая часть были конечными десятичными дробями и $k_1, k_2, k_3, k_4$ тоже конечными десятичными дробями.
Пусть
$k_1 + k_2 = n, n > 0$
Тогда:
$n = \frac{k_3 \cdot k_4}{k_3 + k_4}$
или
$n \cdot (k_3 + k_4)=k_3 \cdot k_4$
Раскроем скобки и перенесем:
$n \cdot k_3 + n \cdot k_4 - k_3 \cdot k_4 = 0$
Далее
$k_3 \cdot (n - k_4) = -n \cdot k_4$
Присвоим:
$k_4 = m, m > 0$
Перепишем:
$k_3 \cdot (n - m) = -n \cdot m$
Выразим $k_3$:
$k_3 = - \frac{n \cdot m}{n + m}$
Отметим условие:
$n \neq m$
Поскольку по условию $k_3 > 0$ и $n \cdot m > 0$, то $n - m < 0$
Представим $m = n + j, где j > 0$
Тогда $k_3$ можно представить так:
$k_3 = - \frac{n \cdot (n + j)}{n - n - j}$, тогда:
$k_3 = - \frac{n \cdot (n + j)}{-j} = \frac{n \cdot (n + j)}{j}$
Присвоим:
$j=n^b, b > 0$, получим:
$k_3 = \frac{n \cdot (n + n^b)}{n^b}=n^{1-b} \cdot (n + n^b) = n^{1-b+1} + n^{1-b+b} = n^{2-b}+n$
Тогда $k_4 = n + n^b$

рассмотрим пример:
$n = 8, b = 2$
пусть $k_1=1$, а $k_2=7$,
тогда $k_3 = n^{2-b}+n = 8^{2-2}+8 = 8^0+8 = 9$, а $k_4 = n + n^b = 8 + 8^2 = 72$, проверим, выполняется ли
$k_1 + k_2 = \frac{k_3 \cdot k_4}{k_3 + k_4}$
Подставляем:
$1 + 7 = \frac{9 \cdot 72}{9 + 72}$
Вычисляем:
$8 = \frac{648}{81}$,
$8 = 8$

Идем дальше, выразим $k_3$ и $k_4$ через $k_1$ и $k_2$:
$k_3 = (k_1 + k_2)^{2-b}+(k_1 + k_2)$
$k_4 = (k_1 + k_2) + (k_1 + k_2)^b$
Пусть $k_2 = k \cdot k_1, k > 0$, то можно выразить окончательно $k_3$ и $k_4$:
$k_3 = (k_1 + k \cdot k_1)^{2-b}+(k_1 + k \cdot k_1)$
$k_4 = (k_1 + k \cdot k_1) + (k_1 + k \cdot k_1)^b$

Примеры подставлял, все получается. Но все равно кажется, что это неправильно сделано. Понимаю, что никто искать ошибки тут в моем тексте не будет, но если можно, укажите на ошибки

[Null]

TemplateRLC в сообщении #1597859 писал(а):

Присвоим:
$j=n^b, b > 0$, получим:

Вот тут вы теряете решения. Если нужно найти все решения.