2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37 ... 40  След.
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение15.06.2023, 01:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10878
Crna Gora
Sinoid в сообщении #1597497 писал(а):
Пусть мы взяли уравнение $z^{n}+z^{m}-1=0$, корень которого, $z$, является корнем некоторой степени из 1. Пусть эта степень равна $p$. Тогда $z=\cos\dfrac{2\pi}{p}+i\sin\dfrac{2\pi}{p}$. В этом случае $\varphi=\dfrac{2\pi}{p}$
Вот тут не очень понял. Например, для $p=7$ аргументы корней $p$-й степени из единицы могут принимать значения
$0,\frac{2\pi}{7},\frac{4\pi}{7},\frac{6\pi}{7},\frac{8\pi}{7},\frac{10\pi}{7},\frac{12\pi}{7}$,
из которых только один равен $\frac{2\pi}{p}$. Возможно, это не имеет значения для дальнейшего?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение15.06.2023, 01:59 


03/06/12
2858
svv в сообщении #1597609 писал(а):
Например, для $p=7$ аргументы корней $p$-й степени из единицы могут принимать значения
$0,\frac{2\pi}{7},\frac{4\pi}{7},\frac{6\pi}{7},\frac{8\pi}{7},\frac{10\pi}{7},\frac{12\pi}{7}$,
из которых только один равен $\frac{2\pi}{p}$.

Во-первых, случая $p=7$ не может быть, т. к. по доказанному ниже
Sinoid в сообщении #1597497 писал(а):
Таким образом, $p$ имеет следующий вид: $p=6t$, где $t$ - отличное от 0 натуральное число.

Во-вторых, вот здесь:
Sinoid в сообщении #1597497 писал(а):
Тогда $z=\cos\dfrac{2\pi}{p}+i\sin\dfrac{2\pi}{p}$.

я имел ввиду, что возьмем для примера простейший корень $p$-й степени из 1, но почему-то это явно не проговорил :facepalm: . Вообще же я написал то главным образом для того, чтобы явно показать, что ответ в задачнике неполон. Спасибо, что не теряете интерес к этой теме вообще и к этой задаче в частности.

(Оффтоп)

Я сейчас еще пишу по этой задаче сюда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение15.06.2023, 02:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10878
Crna Gora
Понятно. Совершенно согласен, что ответ там неполон. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение16.06.2023, 17:20 


03/06/12
2858
Sinoid в сообщении #1597361 писал(а):

(Оффтоп)

svv в сообщении #1597206 писал(а):
Остаётся перебросить логический мостик от $(*)$ к $(**)$.

Делается. В одну сторону, как будто, уже получилось.

Покажем, что, если выполняются равенства
svv в сообщении #1597206 писал(а):
$m(3k_1+1)=n(3k_2-1)\qquad(*)$
Это означает, что пара $(n,m)$ является решением, если найдутся такие целые $k_1,k_2$, что выполняется $(*)$.

, то верно и
svv в сообщении #1597206 писал(а):
$f(n)=f(m)=f(n-m)\qquad(**)$

и обратно. Пусть выполняется (*). $n$ и $m$ мы можем представить в виде $\left\{ \begin{alignedat}{2}n & = & 3^{v}n_{1}\\
m & = & 3^{u}m_{1}
\end{alignedat}
\right.$, где $v$ и $u$ - некоторые целые неотрицательные числа, а $n_1$, $m_1$ - просто некоторые целые, неделящиеся на 3. Тогда равенство (*) мы можем переписать так: $3^{u}m_{1}(3k_{1}+1)=3^{v}n_{1}(3k_{2}-1)$. Если бы было, например, $u<v$, то после сокращения последнего написанного равенства на $3^u$, мы получили бы новое, как бы верное равенство. Однако у этого равенства левая бы часть, $m_1(3k_{1}+1)$, не делилась бы на 3, в то время как правая делилась бы на 3. Т. е., это равенство не могло бы быть верным. Точно так же доказывается, что предположение $u>v$ приводит к противоречию. Ну и остается только возможность $u=v$. Однако, очевидно, что $u=f(m)$, а $v=f(n)$, откуда $f(m)=f(n)$. После этого из равенства $3^{u}m_{1}(3k_{1}+1)=3^{v}n_{1}(3k_{2}-1)$ следует равенство $m_{1}(3k_{1}+1)=n_{1}(3k_{2}-1)$. Далее, ввиду условия/ограничения, наложенного на $m_1$, $m_1$ может иметь 2 вида: или $m_{1}=3m_{2}+1$, или $m_{1}=3m_{2}+2$, где $m_2$ в обоих видах целое. Если $m_{1}=3m_{2}+1$, то $m_{1}(3k_{1}+1)$ имеет вид $3s+1$, где $s$ - некоторое целое, и, для того, чтобы и $n_{1}(3k_{2}-1)$ могло иметь такой же вид, $n_{1}$ должно иметь вид $n_{1}=3n_{2}+2$, где $n_{2}$ - тоже некоторое целое, какое по счету уже не знаю. Да и неважно: в этом посте вообще, если я ввожу новую целую/натуральную величину, то это значит, что, во всяком случае, изначально, в момент ввода, она предполагается неидентичной ни с одной уже ранее введенной целой/натуральной величиной, а как уж дальше получится - это как получится. Конечно, тупая оговорка, но почему-то мне ее захотелось сделать. Наверное, потому, что уже к этому месту здесь навведена не пойми какая куча величин. Ну, да ладно, это отступление. Значит, в этом случае будет $n_{1}-m_{1}=3(n_{2}-m_{1})+1$ и $3\not\mid n_{1}-m_{1}$. Далее, вспоминая выражения $m$ и $n$ соответственно через $m_1$ и $n_1$ и доказанное выше равенство $u=v$, получу: $n-m=3^{v}(n_{1}-m_{1})$, и, принимая во внимание доказанную чуть выше неделимость $n_{1}-m_{1}$ на 3, получаем: $f(n-m)=v=f(n)=f(m)$. Случай $m_{1}=3m_{2}+2$ разбирается аналогично и я поэтому не буду этого делать. Итак, равенства (**) доказаны.

Обратно. Пусть выполняются равенства (**). Значит, в этом случае (по соображениям по сути аналогичным тем, которыми я пользовался выше при представлении чисел $n$ и $m$ в виде $\left\{ \begin{alignedat}{2}n & = & 3^{v}n_{1}\\
m & = & 3^{u}m_{1}
\end{alignedat}
\right.$. Использование далее величин $n_1$ и $m_1$ - тех же величин, которые в этом посте использовались раньше, не должно вызывать вопросов: по сути это те же самые величины) $n$ и $m$ можно представить в следующем виде: $n  = 3^{v}n_{1}$, где $n_{1}$ - некоторое целое, неделящееся на 3, а $v=f(n)$ и $m=3^{v}m_{1}$, где $m_{1}$ - тоже некоторое целое, неделящееся на 3, число. Тогда имеем: $n-m=3^{v}(n_{1}-m_{1})$, а, т. к. должно быть и $v=f(n-m)$, то верно и что $3\not\mid n_{1}-m_{1}$, что вместе с условиями $3\not\mid n_{1}$ и $3\not\mid m_{1}$ дает 2 варианта вида чисел, которые могут иметь числа $n_1$ и $m_1$: $\left\{ \begin{alignedat}{3}n_{1} & = & 3n_{2} & + & 1\\
m_{1} & = & 3m_{2} & + & 2
\end{alignedat}
\right.$ или $\left\{ \begin{alignedat}{3}n_{1} & = & 3n_{2} & + & 2\\
m_{1} & = & 3m_{2} & + & 1
\end{alignedat}
\right.$. Как, на мой взгляд, более интересного, мы рассмотрим детально второй вариант. Рассмотрение первого варианта принципиально ничем не отличается. Итак, в этом случае будет: $\left\{ \begin{alignedat}{2}n & = & 3^{v}(3n_{2}+2)\\
m & = & 3^{v}(3m_{2}+1)
\end{alignedat}
\right.$, а нам нужно доказать существование таких целых $k_1,\,k_2$, что выполняется равенство $m(3k_{1}+1)=n(3k_{2}-1)$. Для этого достаточно просто указать конкретно хотя бы одну пару таких целых $k_1,\,k_2$, что в рассматриваемом варианте вида чисел $n_1,\,m_1$ выполняется последнее равенство. Что ж, предположим, что такие целые $k_1,\,k_2$ действительно существуют. Последнее написанное равенство мы в рассматриваемом варианте вида чисел $n_1,\,m_1$ можем переписать так: $3^{v}(3m_{2}+1)(3k_{1}+1)=3^{v}(3n_{2}+2)(3k_{2}-1)$, или $(3m_{2}+1)(3k_{1}+1)=(3n_{2}+2)(3k_{2}-1)$. Перепишем последнее равенство так: $(-3m_{2}-1)(3k_{1}+1)=(-3n_{2}-2)(3k_{2}-1)$. Это равенство можно представить в виде $(3(-m_{2})-1)(3k_{1}+1)=(3(-n_{2}-1)+1)(3k_{2}-1)$. Последнее равенство, а, значит, и (*) в рассматриваемом варианте вида чисел $m_1,\,n_1$ будет выполняться, если положить, например, $k_1=-n_2-1$, $k_2=-m_2$. при этом величины $k_1,\,k_2$ получают целые значения. Таким образом, то, что нужно было сделать, сделано - доказано существование в рассматриваемом варианте вида чисел $n_1$ и $m_1$ таких целых $k_1$ и $k_2$, что верно (*). На этом доказательство равносильности (*) и (**) можно считать законченным.

-- 16.06.2023, 18:41 --

svv в сообщении #1597609 писал(а):
Возможно, это не имеет значения для дальнейшего?

Что вы! Напротив! Я хочу, чтобы все было максимально точно и максимально проговорено явно. Поэтому любое замечание подобного типа для меня очень важно. Большое спасибо!

-- 16.06.2023, 19:03 --

(Оффтоп)

svv в сообщении #1597363 писал(а):
Я написал простую программку на C++

Какой вы, все-таки, счастливчик: и С++ знаете, и все. Я думаю, это не 1 ЯП, который знаете вы. И в постшкольной физике тянете. А я... В том году опять взялся за Питон я знаю, что произносится это не так. Думаю, ну между делками я его на этот раз доканаю. Месяца 3 я смог на него выделять час в день, потом, как подкатил очередной аврал, опять пришлось забросить. Просто не смог столько в сутки проворачивать. До этого с С++ начинал - то же самое. Книгу по фильму "Интерстеллар" скачал. Думаю, пока хоть в форме научпопа к этому приобщусь. Ага, щас. То же самое...

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение16.06.2023, 19:07 


03/06/12
2858
Sinoid в сообщении #1596954 писал(а):
$\left\{\begin{alignedat}{2}n\varphi & = & \dfrac{6k_{1}+1}{t}\cdot\dfrac{\pi t}{3}\\m\varphi & = & \dfrac{6k_{2}+1}{t}\cdot\dfrac{\pi t}{3}
\end{alignedat}
\right.$

Вот тут затупил. Когда писал, думал, что $\dfrac{\pi t}{3}$ буду получать с помощью показателя корня из 1, думал, что это - $2\pi$, деленное на этот самый показатель с подкрученным, там, если нужно, знаком. Но тогда этот самый показатель должен быть равен (о знаках пока не думаем: о согласовании знаков с теми объектами, в которых, около которых, они используются мы подумаем потом, когда узнаем, сможем ли обеспечить возможность изменяться показателю этого корня из 1 в задаче в достаточно больших границах см. ниже) $\dfrac{6}{t}$ и $t$ нужно было бы брать таким натуральным числом, чтобы последняя дробь была бы тоже натуральным числом. Но это дает буквально единичные количества вариантов для степени корня из 1 в задаче, конечное количество этих вариантов, что, после того, как было положено, что эта степень кратна 6, начинает казаться излишне стесняющим.

Фууух. Вот теперь это кажется все, что я хотел сказать по данной задаче.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение18.06.2023, 05:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10878
Crna Gora
Sinoid в сообщении #1597816 писал(а):
На этом доказательство равносильности (*) и (**) можно считать законченным.
Хорошо. :-) Надеюсь, Вы простите, что я так прямо каждую буковку Вашего вывода не проверял, а ознакомился с ним на уровне идеи.

(Оффтоп)

Sinoid в сообщении #1597816 писал(а):
и С++ знаете, и все
Так ведь у нас очень многие участники могут, решив задачу, написать к ней программу. Это скорее правило, чем исключение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение21.06.2023, 17:48 


03/06/12
2858

(Оффтоп)

svv в сообщении #1597992 писал(а):
Надеюсь, Вы простите, что я так прямо каждую буковку Вашего вывода не проверял, а ознакомился с ним на уровне идеи.

Спасибо большое и на этом. Просто, когда я пишу, то стараюсь сделать все максимально хорошо. Так и хотелось бы побольше контроля по возможности, чтоб не заболовать. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение22.06.2023, 18:07 


03/06/12
2858
Скажите, пожалуйста, а в 17.4, в):
Изображение
на самом же деле хотели дать такое задание: $\left(\left(\begin{matrix}2 & 1\\
5 & 3
\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}1 & 0\\
1 & 1
\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}3 & -1\\
-5 & 2
\end{matrix}\right)\right)^{n}$? Ведь применения указания, данного к этому заданию:
Изображение
в том виде, в котором это задание приведено в задачнике, скорее всего, ничего не дает, зато применение того же указания к заданию, в том исправленном виде, которое, по моему предположению, действительно имелось ввиду, дает ответ, приведенный в задачнике. В издании 2009 года задание приведено в том же самом, предположительно неправильном, виде.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение22.06.2023, 18:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7038
Sinoid в сообщении #1598629 писал(а):
В издании 2009 года задание приведено в том же самом, предположительно неправильном, виде.

Лично у меня нет. В моём издании 2009 года присутствует глобальная скобка для трёх матриц.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение22.06.2023, 23:35 


03/06/12
2858
мат-ламер в сообщении #1598635 писал(а):
В моём издании 2009 года присутствует глобальная скобка для трёх матриц.

Ой, в моем издании 2009 г. глобальные скобки, оказывается, тоже присутствуют. Сейчас повторно открыл, посмотрел. По ходу, я тогда не тот задачник открыл: они у меня в контекстном меню Суматры рядом находятся, так что, видать, когда на мышке левую кнопку нажимал, она незаметно и съехала. Извините, пожалуйста. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение08.07.2023, 18:04 


03/06/12
2858
Скажите, а вот в задаче 17.9:
Изображение
условие же сформулировано не полностью, там же еще нужно добавить, что матрица $C$ невырожденная?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение09.07.2023, 09:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10878
Crna Gora
А какого рода сомнения Вас беспокоят? Думаете, вдруг автор знает секретный способ обращать вырожденные матрицы? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение09.07.2023, 16:09 


03/06/12
2858
svv в сообщении #1600381 писал(а):
Думаете, вдруг автор знает секретный способ обращать вырожденные матрицы? :-)

Ну так мало ли, как могёт быть? Люди, вон, вообще расходящиеся ряды суммируют... :D Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение09.07.2023, 18:31 


03/06/12
2858
Скажите, пожалуйста, а задачи типа задач, приведенных в упражнении 17.10:
Изображение
решаются же с помощью определения, данного в приложении второй части обсуждаемого курса:
Изображение
? В обеих буквах упражнения даны нильпотентные матрицы. На мой взгляд, это намек в пользу моего предположения о способе решения этих задач.

-- 09.07.2023, 19:51 --

Скажите, а вот 17.11, б):
Изображение
решается угадыванием или с помощью аналога формулы разложения в ряд функции $\ln(1+x)$, но только с аргументом, являющимся не числом, а матрицей?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение09.07.2023, 21:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10878
Crna Gora
Sinoid в сообщении #1600425 писал(а):
решаются же с помощью определения, данного в приложении второй части обсуждаемого курса:
Изображение
? В обеих буквах упражнения даны нильпотентные матрицы.
Да, но обратите внимание на пункт в) упражнения 17.10, который не попал в задачник из-за технической ошибки:
Изображение

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 595 ]  На страницу Пред.  1 ... 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37 ... 40  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group