Неявная разностная схема для уравнения теплопроводности

[Hulk541]

Здравствуйте. Пусть к решению предъявленая задача Коши для уравнения теплопроводности

$\dfrac{\partial u(x,t)}{\partial t}=\dfrac{{\partial}^{2} u(x,t)}{\partial x^2} + \varphi (x,t)~~ -\infty < x < +\infty,~~ 0 < t \leqslant T~~(T < +\infty)$

с условием на прямой $t=0$

$u(x,0)=\psi(x)~~ -\infty < x < +\infty$

Выберем прямоугольную сетку, опренделив в ней узлы по правилу
$x_m = mh,~~m=0,\pm 1,\pm 2,\dots,~~h>0$
$t_n = n \tau,~~n=0,1,\dots,N,~~\tau > 0,~~N \tau \leqslant T < (N+1) \tau$

Для решения задачи применим неявную разностную схему, построенную с помощью неявного двухслойного шаблона

Использования данной разностной схемы приводит к тому, что для вычисления, например, значения $u_m^{1}$ решения на первом временном слое, по значениям $u_m^{0}$ решения на нулевом временном слое, нам нужно решить систему линейных уравнений относительно неизвестных $\dots,u_{-2}^{1},u_{-1}^{1},u_{0}^{1},u_{1}^{1},u_{2}^{1},\dots$, т.е. нужно решить систему с трёхдиагональной матрицей, бесконечной в обе стороны (диагонали "растут" вверх и вниз).

Так вот, я бы хотел поинтересоваться, если у кого-нибудь литература, где рассмотрено решение, озвученной мной задачи Коши для уравнения теплопроводности, с помощью неявной схемы ? Или, более общо, где рассмотрено решение таких систем (СЛАУ с трёхдагональной матрицей, бесконечной в обе стороны) ?

[zykov]

Численно решают.
Естественно "конечно в обе стороны".
Если там есть затухание в обе стороны, то можно численно и "бесконечно" сделать.

[Hulk541]

2 года назад наткнулся на книгу "Решение систем линейных алгебраических уравнений непрерывными дробями" авторов Шмойлов В.И., Коровин Я.С. Там авторами были затронуты системы с трёхдиагональыми матрицами, бесконечными лишь в одну сторону (диагонали "росли" вниз)


Тогда же пытался обобщить идеи авторов этой книги на случай интересующих меня систем, но не смог и забросил эту идею. Но что-то мне подсказывает, что и не получилось бы.

-- 11.06.2023, 16:14 --

Недавно, преподаватель по численным методам, подсказал, что что-то "слышал" по поводу решения "моих" систем в публикации Сидонского О. Б. "Вычисление функции Бесселя по рекуррентному соотношения методом прогонки" в журнале Известия СО АН СССР. Серия технических наук. Выпуск 3, № 13.

Но нигде в общем доступе не смог найти этот журнал, как и в библиотеках в моём городе.

[TOTAL]

Hulk541 в сообщении #1597319 писал(а):

нужно решить систему с трёхдиагональной матрицей, бесконечной в обе стороны (диагонали "растут" вверх и вниз).

Потребуется компьютер с бесконечной памятью. Даже если бы схема была явная.

[Hulk541]

TOTAL
Неправильно сформулировал. Задача стоит не найти численные значения решения данной системы, а найти выражения для неизвестных системы. Логика подсказывает, что надо искать что-то рекуррентное.

[мат-ламер]

Hulk541
Во многих учебниках описаны методы решений таких систем. Даже в Википедии кое-что есть.

Расскажите, какой у вас любимый учебник по методам вычислений. А я вам подскажу, какую страницу в нём открыть.

Но если такого нет, то смотрите ссылки в Википедии.

-- Вс июн 11, 2023 19:52:21 --

Hulk541 в сообщении #1597330 писал(а):

Задача стоит не найти численные значения решения данной системы, а найти выражения для неизвестных системы. Логика подсказывает, что надо искать что-то рекуррентное.

В общем виде аналитическое решение вы вряд ли найдёте. Там вмешивается произвольная функция $\varphi$ .

[TOTAL]

Hulk541 в сообщении #1597330 писал(а):

Логика подсказывает, что надо искать что-то рекуррентное.

Тогда подстановкой в схему попробуйте искать коэффициенты $s_i$ в выражении новых величин через старые. Здесь ещё не учтено, что в уравнении есть правая часть.

$$u_m = s_0*v_m _ +\sum_{i=1}^\infty s_i*(v_{m-i}+v_{m+i})$$

[zykov]

Не ясно, что хочет ТС.
Разностная схема используется для компьютерных вычислений.
Само собой, размер там конечен.

Если надо теоретически анализировать безконечную систему, то не ясно, зачем разностная схема.
Там вполне можно с непрерывной работать. Есть решение через функцию Грина.
Наверно для дискретной тоже какой-то аналог функции Грина можно состряпать. Но зачем?

[B@R5uk]

Есть такая хорошая программа FEMM для численного решения различных уравнений магнитостатики, электростатики, теплового потока и ещё там каких-то. Естественно, численные расчёты производятся методом конечных элементов, что подразумевает некоторую ограниченность задачи. Тем не менее, программа может находить решения задач с открытыми границами, таких, как поставленная вами. Подходов к этой проблеме несколько. Простейший заключается в том, чтобы ограничить задачу достаточно далеко от интересующей нас области, чтобы погрешности, вносимые искусственным ограничением не портили искомый результат сильнее желаемой точности. Более сложным вариантом является отображение бесконечной области вокруг сферической задачи в ограниченную сферическую область с необходимой сшивкой границ и расчётом этой новой области всё тем же МКЭ. Этот метод скорее всего вам не подойдёт, хотя кто знает. Следующий метод, называемый "асимптотические граничные условия", на мой взгляд, именно то, что вам требуется. Идея в том, чтобы представить решение вдали от области интереса как быстро убывающий ряд простых асимптотических решений элементарных аналитических задач. Как правило, ограничиваются лишь первым членом ряда, хотя никто не мешает взять больше. Скачайте документацию к программе (или почитайте её он-лайн), там есть и формулы, и объяснения что к чему (применительно к решаемым там задачам), и даже кой-какой вывод. Возможно, что-то получится приспособить сразу. Если нет, то хотя бы идею усвойте и выведите необходимые для вашей задачи формулы самостоятельно.