Однородный дифур

[Stensen]

Всем доброго здравия. Помогите решить дифур: $xy'=y \cdot \cos(\ln \frac{y}{x})$ . Очевидно, однородное уравнение, замена: $y=tx, \,\, dy=x \cdot dt+t \cdot dx, \,\, x \ne 0$. После преобразований приходим к:

$\frac{dt}{t(\cos(\ln t)-1)}=\frac{dx}{x}$ или

$\frac{d(\ln t)}{\cos(\ln t)-1}=\frac{dx}{x}$ и после преобразований:

$\ctg (\frac{1}{2}\cdot\ln(\frac{y}{x}))=\ln(Cx)$ . Но в ответе указано еще решение: $y=x \cdot \exp(2\pi k), \,\, k\in\mathbb{Z} $ . Как прийти к этому решению?

[Mihr]

Когда Вы делили обе части равенства на $\cos(\ln t)-1$, потеряли это решение. Нельзя делить на функцию, тождественно равную нулю. Случай, когда то, на что Вы делите, - тождественный ноль, нужно было рассмотреть отдельно.

[Stensen]

Спасибо, осознал