Вступительная задача в МФТИ 1990 года

[Rasool]

Найдите все значения a, при которых уравнения

$$22x^4+33x^3-16ax^2-3x+2=0$$ $$11x^4+33x^3-21x^2-2ax-2=0$$

имеют общие корни. Найдите эти корни.

Я предпринял несколько попыток преобразований этих многочленов. Попробовал разделить $22x^4+33x^3-16ax^2-3x+2=0$ на $11x^4+33x^3-21x^2-2ax-2=0$. Получилось:

$$ 2 + \frac {-33x^3+(42-16a)x^2+(4a-3)x+6} {11x^4+33x^3-21x^2-2ax-2} $$

Дальше непонятно куда идти.
По теореме Виета попытался разделить многочлены $22x^4+33x^3-16ax^2-3x+2$ и $11x^4+33x^3-21x^2-2ax-2$ на $(x-x_1)$, где x_1 - общий корень этих многочленов. Получилось:

$$(x-x_1)(b_1x^3+c_1x^2+d_1x-e_1)=22x^4+33x^3-16ax^2-3x+2$$ $$(x-x_1)(b_2x^3+c_2x^2+d_2x-e_2)=11x^4+33x^3-21x^2-2ax-2$$

Отсюда:

$$b_1=22$$

$$c_1=33+22x_1$$

$$d_1=-16a+(33+22x_1)x_1$$

$$e_1=-3+(-16a+(33+22x_1)x_1)x_1$$

Тоже зашел в тупик.
Вычтя $22x^4+33x^3-16ax^2-3x+2=0$ из удвоенного $11x^4+33x^3-21x^2-2ax-2$, получил $33x^3_1+(16a-42)x^2_1+(3-4a)x_1-6=0$.
Тоже дальше непонятно куда идти.
Можно получить выражения для a из заданных равенств и приравнять их:

$$a=\frac {22x^4+33x^3-3x+2} {16x^2}=\frac {11x^4+33x^3-21x^2-2} {2x}$$

Тоже дальше непонятно куда идти.
Последняя попытка - попробовать вынести за скобки множители

$$11x^3(2x+3)-(16ax-3)x+2=0$$ $$11x^3(x+3)-(21x-2a)x-2=0$$

После чего я сдался.

[мат-ламер]

Можно попробовать подсчитать результант двух многочленов. Наверное, лучше в каком-то матпакете (а то там с определителем возиться).

-- Сб июн 10, 2023 20:52:45 --

Ничего хорошего .

-- Сб июн 10, 2023 20:54:42 --

График и корни этой гадости .

Попытка окончилась неуспехом. Приношу извинения.

[zykov]

Если некоторый $x$ является одновременно корнем каждого из этих двух многочленов, то он будет корнем многочлена $8xP_2-P_1=88 x^5+242 x^4-201 x^3 -13 x-2$.
Этот многочлен имеет 5 разных корней - 3 действительных и 2 комплексносопряженных.
Корни примерно равны:

x=-0.1219061156808916
x=0.0238935315868895+0.2693473653933839 i
x=0.0238935315868895-0.2693473653933839 i
x=0.7452788497225263
x=-3.421159797215414

Только эти 5 корней могут быть одновременными корнями этих двух многочленов.

Для каждого из этих пяти корней $a$ находится как решение линейного уравнения (подстановкой в $P_1$ или $P_2$).
Всего будет 5 различных $a$.
Для каждого из этих пяти $a$ оба многочлена будет иметь общий корень.

[tolstopuz]

Здесь опечатка, в оригинале было $+21x^2$.

[zykov]

tolstopuz в сообщении #1597184 писал(а):

Здесь опечатка, в оригинале было $+21x^2$.

Тогда многочлен будет $88 x^5+242 x^4+135 x^3-13 x-2=(x+2)(2 x+1)(4 x+1)(11 x^2-1)$

[пианист]

tolstopuz
То-то я думаю, что за ерунда, неужели могли такую дичь подсунуть.
А так получаем после двух манипуляций $(a-\frac{3}{2})(x+\frac{1}{2})(x+\frac{1}{4}) = 0$.
Дальше уже можно помедитировать.

[Rasool]

Большое спасибо, а то я уже почти заработал комплекс неполноценности.

[Rasool]

zykov в сообщении #1597180 писал(а):

Если некоторый $x$ является одновременно корнем каждого из этих двух многочленов, то он будет корнем многочлена $8xP_2-P_1=88 x^5+242 x^4-201 x^3 -13 x-2$.
Этот многочлен имеет 5 разных корней - 3 действительных и 2 комплексносопряженных.
Корни примерно равны:

x=-0.1219061156808916
x=0.0238935315868895+0.2693473653933839 i
x=0.0238935315868895-0.2693473653933839 i
x=0.7452788497225263
x=-3.421159797215414

Только эти 5 корней могут быть одновременными корнями этих двух многочленов.

Для каждого из этих пяти корней $a$ находится как решение линейного уравнения (подстановкой в $P_1$ или $P_2$).
Всего будет 5 различных $a$.
Для каждого из этих пяти $a$ оба многочлена будет иметь общий корень.

То есть во-первых, тут фишка в том, чтобы из заданных многочленов исключить a, а во-вторых, суметь решить/найти корни полученного многочлена 5-й степени.