Группа движений группы Ли Q изоморфна QxQ?

[Kuga]

Цитата:

6.4.Группы Ли как симметрические пространства. Рассмотрим теперь сами группы Ли $Q$ как симметрические пространства. Группа движений $G$ группы $Q$ изоморфна $Q\times Q$; действие группы $G$ в $Q$ порождается правыми и левыми сдвигами:

$$ (g_1,g_2):\, q\to g_1qg_2^{-1}. $$

Непонятно, почему это изоморфизм?

Например, пусть группа Ли $Q$ абелева. Тогда разные пары $g_1$ и $g_2$ такие что $g_1g_2^{-1}=h$ (где $h$ фиксирован) могут давать одну и ту же изометрию. Т.е. отображение из $Q\times Q$ в группу изометрий не инъективно. Тогда откуда получается изоморфизм?

[vpb]

Про симметрические пространства я ничего не знаю, но, видимо, имеется в виду не что иное, как метрика на группе Ли, определенная формой Киллинга. Заглянул в ДНФ, и вижу, что чуток выше там написано, "во всех дальнейших примерах считаем группу $Q$ полупростой, откуда форма Киллинга невырожденная". Т.е. группа не абелева, и даже связных абелевых нормальных подгрупп не содержит.

[Kuga]

Если в книге исключаются связные нормальные абелевы подгруппы, то тогда вроде все понятно.

Инъективность отображения $Q\times Q$ в группу изометрий $Q$ эквивалентна тому, что если $g_1qg_2^{-1}=q$ для всех $q$, то $g_1=g_2$ (можно положить $q=g_2$) и тогда $g_1$ коммутирует со всеми $q$. Т.е. ядро гомоморфизма совпадает с центром $Q\times Q$. Но центр декартова произведения групп есть декартово произведение их центров. Поэтому если центр $Q$ тривиален, то получается изоморфизм.