Циклическое расширения поля

[ohart]

В теории Галуа есть следующее утверждение (цитата по Ван дер Вардену):

Цитата:

Любое циклическое поле n-й степени при условии что его основное поле содержит корни n-й степени из единицы и n не делится на его характеристику, получается присоединением корня n-й степени из некоторого элемента основного поля

В доказательстве, которое я прочитал, существенным образом используется факт того, что основное поле содержит корни из единицы. Как привести контрпример такого сорта:
$\mathbb{Q}\subset L$ - нормальное расширение, такое что $Gal(L/\mathbb{Q})$ - циклическая и при этом $\nexists \beta\in L\ \exists n\in\mathbb{N}\ ( L = \mathbb{Q}(\beta)\ \& \ \beta^n\in \mathbb{Q})$?

[Slav-27]

Любое кубическое.

[ohart]

Slav-27 в сообщении #1596543 писал(а):

Любое кубическое.

Я видимо что-то упускаю, прошу прощения за возможно глупые вопросы:
Если кубический многочлен имеет два комплексных корня, то существует автоморфизм поля его разложения, переставляющий эти два корня и оставляющий на месте действительный. Отсюда можно получить, что группа Галуа такого расширения будет изоморфна $S_3$, которая не циклическая.
Если у кубического многочлена только действительные корни, то как доказать, что поле его разложения не будет простым полем от какого-нибудь кубического корня?

[Slav-27]

ohart в сообщении #1596623 писал(а):

Если кубический многочлен имеет два комплексных корня, то существует автоморфизм поля его разложения, переставляющий эти два корня и оставляющий на месте действительный. Отсюда можно получить, что группа Галуа такого расширения будет изоморфна $S_3$, которая не циклическая.

Да, конечно. То есть в таком случае присоединение к $\mathbb Q$ корня этого многочлена даст расширение кубическое (т. е. степени 3), но ненормальное.

ohart в сообщении #1596623 писал(а):

Если у кубического многочлена только действительные корни, то как доказать, что поле его разложения не будет простым полем от какого-нибудь кубического корня?

Предположим, что $\mathbb Q(\beta)\supset\mathbb Q$ нормальное и нетривиальное, $\beta^3\in\mathbb Q$. Тогда в $\mathbb Q(\beta)$ содержится и какой-нибудь другой кубический корень из $\beta^3$, значит, в нём содержится нетривиальный кубический корень из $1$.

[ohart]

Slav-27 в сообщении #1596637 писал(а):

Предположим, что $\mathbb Q(\beta)\supset\mathbb Q$ нормальное и нетривиальное, $\beta^3\in\mathbb Q$. Тогда в $\mathbb Q(\beta)$ содержится и какой-нибудь другой кубический корень из $\beta^3$, значит, в нём содержится нетривиальный кубический корень из $1$.

Я в целом разобрался, большое спасибо!