Ограниченная последовательность

[Alex Krylov]

Цитата:

Не уверен в этом. Можете доказать? Например, если $x_1=0$, то все остальные члены последовательности также равны 0.

>>

Цитата:

Отображение, обладающее (единственной) инвариантной мерой, определяет (строго) эргодическое преобразование $g(x)$, замечательной особенностью которого является то, что почти для всех начальных значений $x_0$ (за исключением точек множества меры нуль) траектория $x_n=g^n(x_0)$ воспроизводит все пространство $X$ [1].

"Множество меры нуль", дающее периодические орбиты, - это множество рациональных $x_0$. Для иррациональных $x_0$ - решение будет непериодическим [3].

Вот нерекуррентное представление сдвигов Бернулли [2]: $x_n=\left\lbrace 2^n x_0 \right\rbrace$, где $\left\lbrace ... \right\rbrace$ - дробная часть числа. Инвариантное распределение для сдвигов Бернулли - равномерное распределение на $[0,1]$.

1) В.М. Аникин, А.Ф. Голубенцев. Аналитические модели детерминированного хаоса, стр. 23
2) там же, стр. 29
3) https://en.wikipedia.org/wiki/Dyadic_transformation

[vicvolf]

worm2 в сообщении #1596114 писал(а):

Вы рассматриваете периодические последовательности $\{x_k\}$. Для таких, действительно, усреднения будут сходиться к среднему арифметическому периода.

Где это можно посмотреть?

[bot]

Посмотрите на строчку

$$\frac{x_1+\ldots +x_{kd+r}}{kd+r}=\frac{ckd}{kd+r}+\frac{x_{kd+1}+\ldots +x_{kd+r}}{kd+r},\,\, \text {где}\,\, d - \text {период}, \,\, c=\frac {x_1+\ldots+x_d}{d},\,\, 0\leqslant r <d\$$

и убедитесь, что последовательность разобьётся на $d$ подпоследовательностей с одинаковым пределом $c$.

Заодно себя поправлю.

bot в сообщении #1596142 писал(а):

Ставим плюс, затем два минуса, потом 3! плюсов, далее 4! минусов ...

Сгодится, тогда подпоследовательность $\frac{x_1+\ldots + x_{1!+2!+\ldots+ n!}}{1!+2!+\ldots+ n!}$ будет иметь две предельные точки разных знаков

$$\pm\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n!-(n-1)!+\ldots + (-1)^n 1!}{n!+(n-1)!+\ldots + 1!}\ne 0.$$

Но лучше взять $x_k=(-1)^n,$ если $(n-1)!\leqslant k< n!$, тем более, что вчера написанное доказательство как раз и заточено на этот случай.

[vicvolf]

Alex Krylov
bot
Спасибо!

[vicvolf]

Пытался построить ограниченную аддитивную арифметическую функцию, но не получилось. Пришел в голову только один тривиальный пример $f(m)=0,m=1,...,n$. В связи с этим возник вопрос - могут ли быть не тривиальные примеры?