Ограниченная последовательность

[vicvolf]

Можно ли привести пример ограниченной последовательности $x_k$, для которой не существует предел $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k \leq n} {x_k}$?

Известно, что последовательность называется ограниченной, если $|x_k| \leq C$. Приведу примеры ограниченных последовательностей.

Последовательность $x_k=1/k$. Для данной последовательности существует предел $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k \leq n} {1/k}=0$.

Последовательность $x_k=2+(-1)^{k+1}$ принимает значения: $3,1,3,1,3,1...$. Последовательность частичных сумм $s_n$ принимают значения:$3,4,7,8,11,12...$. Последовательность $s_n/n$ принимает значения: $3,4/2,7/3,8/4,11/5,12/6...$. Для данной последовательности также существует предел $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k \leq n} {x_k}=2$.

На последнем примере хорошо видно, что максимальные разрывы последовательности $s_n/n$ для ограниченной последовательности $x_n$ равны $C/n$, т.е. стремятся к 0 при $n \to \infty$, т.е. существует предел $\lim_{n \to \infty} {s_n/n}$.

Однако, у меня сомнения. Поэтому прошу привести контрпример.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[worm2]

Вы рассматриваете периодические последовательности $\{x_k\}$. Для таких, действительно, усреднения будут сходиться к среднему арифметическому периода.
Надо рассмотреть непериодические. Чтобы, например, сначала несколько штук $+1$, потом в два раза больше $-1$, потом в 4 раза больше $+1$, потом в 8 раз больше $-1$ и т.д. усреднение будет склоняться то в положительные области, то в отрицательные, причём амплитуды не будут затухать до нуля.

[vicvolf]

worm2 в сообщении #1596114 писал(а):

Вы рассматриваете периодические последовательности $\{x_k\}$.

Спасибо,но первый пример непериодическая последовательность.

[worm2]

Это да, я неудачно выразился. Нужны не просто "непериодические", но "хитрые" непериодические, которые и формулой сложно описать.

[Anton_Peplov]

worm2 уже привел по сути полное решение.
Вообще такие штуки строятся "от ответа". Нужна последовательность $\{a\}$ частичных средних, у которой нет предела. В качестве $\{a\}$ подойдет ограниченная последовательность, в которой бесконечно много нулей, но не сходящаяся к нулю. Значит, положительные и отрицательные числа в $\{x\}$ (можно ограничиться числами $1$ и $-1$) надо расставить нужным образом.

[bot]

worm2 в сообщении #1596117 писал(а):

Нужны не просто "непериодические",

Anton_Peplov в сообщении #1596121 писал(а):

Значит, положительные и отрицательные числа в $\{x\}$ (можно ограничиться числами $1$ и $-1$) надо расставить нужным образом.

Пока донёс от магазина идею, а она уже тут. Кажется подойдёт такая:
Ставим плюс, затем два минуса, потом 3! плюсов, далее 4! минусов ...
Поскольку $n!-(n-1)! =n!\cdot \frac{n-1}{n}$, то подпоследовательнось $\frac{x_1+\ldots+x_{n!}}{n!}$ разойдётся.

[mihaild]

worm2 в сообщении #1596117 писал(а):

Нужны не просто "непериодические", но "хитрые" непериодические, которые и формулой сложно описать

Вроде как раз Ваш пример описывается $x_n = (-1)^{\log^*(n)}$.

[bot]

worm2 в сообщении #1596117 писал(а):

Нужны не просто "непериодические",

Anton_Peplov в сообщении #1596121 писал(а):

Значит, положительные и отрицательные числа в $\{x\}$ (можно ограничиться числами $1$ и $-1$) надо расставить нужным образом.

Пока донёс от магазина идею, а она уже тут. Кажется подойдёт такая:
Ставим плюс, затем два минуса, потом 3! плюсов, далее 4! минусов ...
Поскольку $n!-2(n-1)! =n!\cdot \frac{n-2}{n}$, то $1>|\frac{x_1+\ldots+x_{n!}}{n!}|>\frac{n-2}{n}$ и эта подпоследовательность разойдётся в силу знакочередования.

Опс, хотел отредактировать, а получился новый пост.

mihaild в сообщении #1596135 писал(а):

$x_n = (-1)^{\log^*(n)}$

А что означает * над логарифмом?

[mihaild]

bot в сообщении #1596142 писал(а):

А что означает * над логарифмом?

Итерированный логарифм - сколько раз нужно взять логарифм, чтобы получить число, не превосходящее $1$, обратная операция к тетрации.

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1596135 писал(а):

worm2 в сообщении #1596117 писал(а):

Нужны не просто "непериодические", но "хитрые" непериодические, которые и формулой сложно описать

Вроде как раз Ваш пример описывается $x_n = (-1)^{\log^*(n)}$.

Спасибо, формулу нашли, но это частный случай. Как вообще описать этот класс ограниченных последовательностей?

[Alex Krylov]

worm2 в сообщении #1596117 писал(а):

Это да, я неудачно выразился. Нужны не просто "непериодические", но "хитрые" непериодические, которые и формулой сложно описать.

Вот вам ограниченная на [0,1] непериодическая последовательность - сдвиги Бернулли (хаотическое отображение обладающее свойством эргодичности): $x_{n+1}=2 x_{n} \bmod 1$

[Anton_Peplov]

vicvolf в сообщении #1596165 писал(а):

Спасибо, формулу нашли, но это частный случай. Как вообще описать этот класс ограниченных последовательностей?

А что значит "описать"?
Определение ему Вы дали, метод, позволяющий печь такие последовательности как пирожки, Вам тут изложили несколько раз. Чего Вы еще хотите? Необходимых и достаточных свойств? Классификации всех таких последовательностей?

Видите ли, когда определение начинается с "не", обычно под него подходит слишком много всего разного, чтобы загнать этот зоопарк в какие-то осмысленные рамки. Можно описать бананы, а можно ли описать "не бананы" кроме как констатацией, что они не бананы? Как Вы могли бы "описать" (в Вашем понимании этого слова), скажем, недифференцируемые функции? Или неизмеримые множества?

[vicvolf]

Alex Krylov в сообщении #1596166 писал(а):

Вот вам ограниченная на [0,1] непериодическая последовательность: $x_{n+1}=2 x_{n} \bmod 1$

Не уверен в этом. Можете доказать? Например, если $x_1=0$, то все остальные члены последовательности также равны 0. Следовательно, в этом случае последовательность периодическая и предел средних существует и равен 0. Другая ограниченная хаотическая последовательность - простое случайное блуждание - последовательность состоит из 1 и -1, которые появляются с вероятностью 0,5. Последовательность непериодическая, хотя предел средних существует и равен 0. Возьмем другую уже не хаотическую ограниченную последовательность, которая состоит из 0 и 1: $x_k=\mu^2(k)$, где $\mu(k)$ - функция Мебиуса. Последовательность непериодическая, но предел средних существует и равен $6/\pi^2$.

Anton_Peplov в сообщении #1596168 писал(а):

Видите ли, когда определение начинается с "не", обычно под него подходит слишком много всего разного, чтобы загнать этот зоопарк в какие-то осмысленные рамки. Можно описать бананы, а можно ли описать "не бананы" кроме как констатацией, что они не бананы? Как Вы могли бы "описать" (в Вашем понимании этого слова), скажем, недифференцируемые функции? Или неизмеримые множества?

Можно конечно говорить о периодических ограниченных последовательностях, для которых предел средних существует. Можно также говорить о монотонных ограниченных последовательностях, которые также имеют предел средних. Но существует большое количество ограниченных не периодических и не монотонных последовательностей, для которых предел средних также существует. Например, последовательности, образованные ограниченными мультипликативными функциями. Один из примеров приводил выше $x_k=\mu^2(k)$.