Ковариантные производные тензорных плотностей

[Frol]

Здравствуйте. У Герштейна, Логунова и др. нашел возможность записи ковариантных производных от тензорных плотностей для пространства Минковского. (web.ihep.su/library/pubs/prep2004/ps/2004-49.pdf см. Приложение А). Но там они пользовались тем, что метрика согласованна со связностью (т.е.
$\nabla_\alpha g_{\beta\gamma} = 0$
). Пытался сделать что-то подобное для пространств с неметричностью, но не получается, у других авторов тоже не нашел. Если кто-нибудь встречался с решением данной задачи, пожалуйста, напишите авторов работ! Буду очень благодарен!

[ИгорЪ]

Если не секрет, чем мотивирован интерес? Я вот пытаюсь в галилеевом пространстве научиться работать. В том числе построить калибровочные=ковариантные производные. Смотри "Метрика Галилея".

[Munin]

Frol в сообщении #159222 писал(а):

У Герштейна, Логунова и др.

Боюсь ошибиться, но кажется, там главные авторы - Логунов и Местверишвили. Или просто "Логунов и др." - так точно будет правильно.

Frol в сообщении #159222 писал(а):

У Герштейна, Логунова и др. нашел возможность записи ковариантных производных от тензорных плотностей для пространства Минковского. Но там они пользовались тем, что метрика согласованна со связностью (т.е. ).

Скорее, они там пользовались наблюдаемостью фона, как я понял. В чисто геометрической теории такого не получится.

[Парджеттер]

Munin в сообщении #159298 писал(а):

Или просто "Логунов и др." - так точно будет правильно.

А Вы тащитесь от Логунова?

[epros]

Frol писал(а):

Здравствуйте. У Герштейна, Логунова и др. нашел возможность записи ковариантных производных от тензорных плотностей для пространства Минковского. (web.ihep.su/library/pubs/prep2004/ps/2004-49.pdf). Но там они пользовались тем, что метрика согласованна со связностью (т.е.
$\nabla_\alpha g_{\beta\gamma} = 0$
). Пытался сделать что-то подобное для пространств с неметричностью, но не получается, у других авторов тоже не нашел. Если кто-нибудь встречался с решением данной задачи, пожалуйста, напишите авторов работ! Буду очень благодарен!

1) Я бы посоветовал таких работ не читать
2) Я не понял в чём проблема с записью ковариантной производной тензорной плотности для любого пространства, в котором задана связность? Про метрику можете совершенно забыть.

[Munin]

Парджеттер в сообщении #159317 писал(а):

А Вы тащитесь от Логунова?

Нет, напротив, не понимаю людей, которые от него тащатся. Что не мешает мне быть в курсе некоторых широко известных деталей. А вы тащитесь?

Добавлено спустя 1 минуту 30 секунд:

epros в сообщении #159389 писал(а):

2) Я не понял в чём проблема с записью ковариантной производной тензорной плотности для любого пространства, в котором задана связность?

Как я понял, там производная записана не от плотности, а через плотность. Вместо через связность.

[Frol]

epros в сообщении #159389 писал(а):

Я не понял в чём проблема с записью ковариантной производной тензорной плотности для любого пространства, в котором задана связность? Про метрику можете совершенно забыть.

и

Munin в сообщении #159493 писал(а):

Как я понял, там производная записана не от плотности, а через плотность. Вместо через связность.

Нет, на самом деле мой вопрос действительно о ковариантных производных от тензорных плотностей (прошу прощения, я не указал в первом своем сообщение, что надо смотреть Приложение А). Я читал про ковариантную производную, как таковую, у Рашевского, Шутца и еще у нескольких авторов. Там везде есть такое свойств, если a - скаляр, а T - тензор, то \nabla_\mu(\alpha T) = a\nabla_\mu T + \partial_\mu a T. Это доказывать не приходится, т.к. понятно, что при переносе скаляра в одну точку никаких сложностей не возникает. А что делать, например с таким выражением \nabla_\mu(\sqrt{| g |}T), где g = det(||g_{\alpha\beta}||). Можно ли для нее написать вышеуказанное свойство? Может кто встречал это? В Рашевском я этого не нашел. Пытался сам расписать, через определение получить - тоже не получилось.

ИгорЪ в сообщении #159248 писал(а):

Если не секрет, чем мотивирован интерес?

Просто интересно, тензоры - новый материал для меня.

[Парджеттер]

Munin в сообщении #159493 писал(а):

Нет, напротив, не понимаю людей, которые от него тащатся. Что не мешает мне быть в курсе некоторых широко известных деталей. А вы тащитесь?

Нет. Я просто Вашей интонации не понял, вот и заинтересовался.

[chiba]

Frol писал(а):

Пытался сам расписать, через определение получить - тоже не получилось.

Может поможет, что (для 4D)
$g=\frac{1}{24}e^{iklm} e^{prst} g_{ip} g_{kr} g_{ls} g_{mt}$,
где $e^{iklm} $ – тензор Леви-Чивитта.

[ИгорЪ]

В современке кажется есть (Дубровин, Новиков, Ф..), не могу указать точно где, (не в стране).

[Munin]

Frol в сообщении #159551 писал(а):

Просто интересно, тензоры - новый материал для меня.

Тогда их точно стоит изучать не по Логунову...

[epros]

Frol писал(а):

Пытался сам расписать, через определение получить - тоже не получилось.

Вероятно плохо пытались.

$\mathfrak{a}_{;i} = \mathfrak{a}_{,i} - \mathfrak{a} \Gamma^{s}_{i s}$

Здесь $\mathfrak{a}$ - скалярная плотность, точкой с запятой перед индексом обозначена ковариантная производная по соответствующей координате, запятой перед индексом - частная производная по соответствующей координате, $\Gamma^{i}_{j k}$ - связность (символы Кристоффеля).

Нетрудно убедиться, что $\mathfrak{a}_{;i}$ преобразуется как ковариантная векторная плотность.

[Frol]

Огромное всем спасибо! И персонально epros`y!!!

epros в сообщении #159813 писал(а):

Вероятно плохо пытались. Smile
$\mathfrak{a}_{;i} = \mathfrak{a}_{,i} - \mathfrak{a} \Gamma^{s}_{i s}$

Наверное Вы правы, попытаюсь вывести эту формулу (хотя бы для очистки своей совести).