Найдите площадь треугольника

[GAE]

Найдите площадь треугольника, у которого расстояния от вершин до точки пересечения биссектрис равны $10\sqrt{2}$, $2\sqrt{10}$, $\sqrt{5}$.

[rascas]

42

[wrest]

Пусть изветные отрезки равны $a',b',c'$ а стороны противоположные вершинам из которых эти отрезки исхдят, равны соответственно $a,b,c$ Пусть $p$ - полупериметр и $r$ -радиуc вписанной окружности данного треугольника.

(Решение)

Тогда имеем систему уравнений
$a'^2=(p-a)^2+r^2$
$b'^2=(p-b)^2+r^2$
$c'^2=(p-c)^2+r^2$
$p=\dfrac{a+b+c}{2}$
$r^2=\dfrac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}$
Из неё находим $a=7,b=15,c=20,p=21;r=2$ и соответственно площадь (по любой формуле на вкус) $S=pr=42$
но это как-то свсем уж "в лоб", видимо имеется решение хитрее.
P.S. Поскольку я только-только из темы «Разложение числа в сумму двух квадратов», то я разбил квадраты известных отрезков, и нашёл, что все три разбиения могут иметь общее слагаемое $2^2$ и соответственно $r=2;(p-a)=14;(p-b)=6;(p-c)=1$ ну и $S=pr=\dfrac{(p-a)(p-b)(p-c)}{r}$

[wrest]

Koren16 в сообщении #1595764 писал(а):

Так как расстояния от вершин до точки пересечения биссектрис равны $a', b'$ и $c'$, а стороны противоположные вершинам из которых эти отрезки исходят равны соответственно $a,b,c$, то длины сторон треугольника равны:

$$a = b' + c', b = a' + c', c = a' + b'$$

Это неверно

[GAE]

wrest
Да, всё правильно - предполагалось именно алгебраическое решение. Но мне казалось, что решение системы не такое простое.
По сути Вам просто повезло угадать общее слагаемое $2^2$. А как бы Вы стали действовать, если бы в качестве расстояний были заданы какие-то произвольные положительные числа, для которых ничего угадать нельзя?
И, кстати, почему именно это общее слагаемое является квадратом радиуса вписанной окружности? Целочисленность сторон треугольника никто не обещал.

[rascas]

wrest в сообщении #1595762 писал(а):

но это как-то совсем уж "в лоб", видимо имеется решение хитрее.

У меня тоже решение прямолинейное. Из точки пересечения биссектрис опускаем перпендикуляры на стороны треугольника. Получаем шесть прямоугольных треугольников.

И систему уравнений :
$ \begin{cases} a'\sin\alpha=r\\ b'\sin\beta=r\\ c'\sin\gamma=r\\ \alpha+\beta+\gamma=\frac{\pi}{2}\\ \end{cases} $
где $\alpha ,\beta,\gamma$ - половины углов треугольника.

Далее получилось уравнение третьей степени $r^3+23r^2=100$ .
Угадал единственный корень $r=2$. Дальше найти площадь просто.

[GAE]

rascas
Да, именно составление такого кубического уравнения и предполагалось.
У него три корня, но положительный только один: $r = 2$

[rascas]

GAE
Да верно. И самое главное нашёл я эти оставшиеся два корня, и убедился, что они отрицательные иррациональные числа. И, наверное, в спешке пропустил слово.

rascas в сообщении #1595772 писал(а):

Угадал единственный положительный корень $r=2$.

[wrest]

GAE в сообщении #1595767 писал(а):

Целочисленность сторон треугольника никто не обещал.

Это да.
Вы загадали сравнимый геронов треугольник. У них всех $r=2$, площадь [численно] равна периметру, а площади треугольников, образованных стороной и отрезками, соединяющими вершины этой стороны с инцентром, [численно] равны длине этой стороны. Таких треугольников всего пять...

[GAE]

wrest
Ну это получилось случайно - лишь для того, чтобы ответ считался точно.

В общем случае, если расстояния от вершин до точки пересечения биссектрис обозначить через $u, v, w$, то для радиуса вписанной окружности $r$ получается такое кубическое уравнение: $2uvw$\cdot$r^3 + (u^2v^2 + u^2w^2 + v^2w^2)$\cdot$r^2 - u^2v^2w^2 = 0$.
Чаще всего его корни можно посчитать только приближённо, поскольку точные выражения в радикалах слишком громоздкие и от них мало практической пользы. Кстати говоря, из теоремы Виета для кубического уравнения следует, что при любых положительных $u, v, w$ сумма корней отрицательна, а произведение корней положительно, и значит всегда есть ровно один положительный корень - искомый радиус.

[GAE]

Также несложно видеть, что если $r$ - положительный корень приведённого выше кубического уравнения, то $r < \min(u, v, w)$. Таким образом, для любых трёх положительных чисел существует треугольник, для которого эти числа являются расстояниями от вершин до точки пересечения биссектрис.

[wrest]

GAE в сообщении #1595817 писал(а):

получается такое кубическое уравнение: $2uvw\cdot r^3 + (u^2v^2 + u^2w^2 + v^2w^2)\cdot r^2 - u^2v^2w^2 = 0$

Красивое :)

Вольфрам конечно выдаёт очень навороченное решение. Но выдаёт, все-таки уравнение кубическое. Может там как-то можно свернуть ещё что-нибудь для пущей красоты, но сути это не изменить.
Ниже функция s(u,v,w) на pari/gp, которая считает искомую площадь.

(Оффтоп)

s(u,v,w)=my(r,x,y,z,p);r=real(-(u^2*v^2+u^2*w^2+v^2*w^2)/(6*u*v*w)+(u^2*v^2+u^2*w^2+v^2*w^2)^2/(6*u*v*w*(u^6*(-v^6)-3*u^6*v^4*w^2-3*u^6*v^2*w^4-u^6*w^6-3*u^4*v^6*w^2+48*u^4*v^4*w^4-3*u^4*v^2*w^6-3*u^2*v^6*w^4-3*u^2*v^4*w^6+6*sqrt(3)*sqrt(-u^10*v^10*w^4-3*u^10*v^8*w^6-3*u^10*v^6*w^8+u^10*(-v^4)*w^10-3*u^8*v^10*w^6+21*u^8*v^8*w^8-3*u^8*v^6*w^10-3*u^6*v^10*w^8-3*u^6*v^8*w^10-u^4*v^10*w^10)-v^6*w^6)^(1/3))+(u^6*(-v^6)-3*u^6*v^4*w^2-3*u^6*v^2*w^4-u^6*w^6-3*u^4*v^6*w^2+48*u^4*v^4*w^4-3*u^4*v^2*w^6-3*u^2*v^6*w^4-3*u^2*v^4*w^6+6*sqrt(3)*sqrt(-u^10*v^10*w^4-3*u^10*v^8*w^6-3*u^10*v^6*w^8+u^10*(-v^4)*w^10-3*u^8*v^10*w^6+21*u^8*v^8*w^8-3*u^8*v^6*w^10-3*u^6*v^10*w^8-3*u^6*v^8*w^10-u^4*v^10*w^10)-v^6*w^6)^(1/3)/(6*u*v*w));x=sqrt(u^2-r^2);y=sqrt(v^2-r^2);z=sqrt(w^2-r^2);p=x+y+z;return(p*r)

? \p 50
   realprecision = 57 significant digits (50 digits displayed)
? print(s(2*sqrt(10),10*sqrt(2),sqrt(5)))
42.000000000000000000000000000000000000000000000000

-- 30.05.2023, 13:22 --

GAE в сообщении #1595836 писал(а):

Таким образом, для любых трёх положительных чисел существует треугольник, для которого эти числа являются расстояниями от вершин до точки пересечения биссектрис.

Да, это кстати для меня было неожиданностью, я почему-то сперва подумал, что к этим отрезкам должно применяться неравенство треугольника. Но потом понял, что не должно.

Кстати, я правильно понимаю, что если даны эти три отрезка, то по ним нельзя построить циркулем и линейкой тот треугольник, площадь которого ищется?

[wrest]

Ну и финальный, так сказать, аккорд
Функция s3(u,w,v) которая принимает на вход длины отрезков и печатает радиус вписанной окружности, длины сторон искомого треугольника, его полупериметр и площадь.

s3(u,w,v)=my(a,b,d,r,x,y,z,p);a=(u*v/w+v*w/u+u*w/v)/2;b=u*v*w/2;d=((3*sqrt(3)*sqrt(27*b^2-4*a^3*b)-2*a^3+27*b)/2)^(1/3);r=real(((d+a^2/d)-a)/3);x=sqrt(u^2-r^2);y=sqrt(v^2-r^2);z=sqrt(w^2-r^2);p=x+y+z;print("r=",r);print("a=",p-x);print("b=",p-y);print("c=",p-z);print("p=",p);print("S=",p*r)

Работает так:

? s3(2*sqrt(10),10*sqrt(2),sqrt(5))
r=2.0000000000000000000000000000000000000000000000000
a=15.000000000000000000000000000000000000000000000000
b=20.000000000000000000000000000000000000000000000000
c=7.0000000000000000000000000000000000000000000000000
p=21.000000000000000000000000000000000000000000000000
S=42.000000000000000000000000000000000000000000000000
?

[GAE]

wrest
Круто! Вы прямо серьезно заморочились:)
По поводу построения треугольника циркулем и линейкой - не знаю, надо наверно смотреть на вид выражений для сторон треугольника в радикалах и понимать можно ли такое построить.

Да, вроде и для полных длин биссектрис треугольника есть теорема, что они могут быть произвольными и соответствующий треугольник будет существовать. Но там для длин сторон треугольника получается уравнение какой-то большой степени и явные точные формулы выписать не получится.

[Rak so dna]

wrest в сообщении #1595840 писал(а):

Вольфрам конечно выдаёт очень навороченное решение. Но выдаёт, все-таки уравнение кубическое. Может там как-то можно свернуть ещё что-нибудь для пущей красоты, но сути это не изменить.

Замены $r=\frac{1}{x},u=\frac{1}{a},v=\frac{1}{b},w=\frac{1}{c}$ сводят уравнение к $x^3-(c^2+b^2+a^2)x-2abc=0$