Площадь части поверхности, заключенной внутри цилиндрической

[Amlg0]

Вычислить площадь части поверхности, заключенную внутри цилиндрической поверхности.
Уравнение поверхности: $z = 6 - 2x + 3y$
Уравнение цилиндрической поверхности: $(x^2 + y^2)^2 = 25xy$
Буду очень признателен, если поможете с решением данной задачи. У меня возникают вопросы касательно самой цилиндрической поверхности. В 3d калькуляторе это просто восьмерка с центром в начале координат (не поверхность), и как тогда определять пределы интегрирования — не совсем понятно. Да и при взятии производных от уравнения поверхности с последующей подстановкой в формулу получается просто число, которое необходимо подставить в двойной интеграл, хотя в других решенных мною задачах подобного рода это было уравнение относительно x и y.

[мат-ламер]

Amlg0 в сообщении #1595650 писал(а):

В 3d калькуляторе это просто восьмерка с центром в начале координат (не поверхность)

Поверхность получится, если вытянуть эту фигуру вдоль оси $z$ . Попробуйте перейти к цилиндрическим (полярным) координатам. Вычисления по-видимому упростятся. Для начала попробуйте просто найти площадь этой восьмёрки. Затем подумайте, на какой поправочный коэффициент её умножить, чтобы найти ответ.

[Alex Krylov]

$f=6-2x+3y$
$\underset{\Omega}{\int\limits_{}^{}\int\limits_{}^{}} \sqrt{1+\frac{\partial}{\partial x}f +\frac{\partial}{\partial y}f}dx dy = \underset{\Omega}{\int\limits_{}^{}\int\limits_{}^{}} \sqrt{14} dx dy$

Далее подставляем $x=\rho\cos(\theta), y=\rho\sin(\theta)$ в $(x^2+y^2)^2-25xy=0$. Получаем $\rho^2(\rho^2-\frac{25}{2}\sin(2\theta))=0$. Смотрим, при каких $\theta$ вот это $(\rho^2-\frac{25}{2}\sin(2\theta))=0$ выполняется. Получаем два интервала: $0\leqslant\theta\leqslant\pi/2, -\pi\leqslant\theta\leqslant-\pi/2$

$\underset{\Omega}{\int\limits_{}^{}\int\limits_{}^{}} \sqrt{14} dx dy = \frac{\sqrt{14}}{2}( \int\limits_{-\pi}^{-\pi/2} \rho^2(\theta) d\theta + \int\limits_{0}^{\pi/2} \rho^2(\theta) d\theta$ )= $\frac{25\sqrt{14}}{2}$

Касательно площади в полярных координатах смотрим тут:
https://en.wikipedia.org/wiki/Polar_coordinate_system

[Amlg0]

Спасибо большое!

-- 28.05.2023, 21:34 --

Alex Krylov в сообщении #1595659 писал(а):

$\underset{\Omega}{\int\limits_{}^{}\int\limits_{}^{}} \sqrt{14} dx dy = \frac{\sqrt{14}}{2} \int\limits_{-\pi}^{-\pi/2} \rho^2(\theta) d\theta + \int\limits_{0}^{\pi/2} \rho^2(\theta) d\theta$ = $\frac{25\sqrt{14}}{2}$

Поясните, пожалуйста, почему мы берем ро в квадрате? И откуда берется коэффициент $1/2$, если мы находим площадь обоих симметричных "лепестков", для которой было бы достаточно взять один предел и его значение у множить на 2?

[Alex Krylov]

Amlg0 в сообщении #1595661 писал(а):

Спасибо большое!

-- 28.05.2023, 21:34 --

Alex Krylov в сообщении #1595659 писал(а):

$\underset{\Omega}{\int\limits_{}^{}\int\limits_{}^{}} \sqrt{14} dx dy = \frac{\sqrt{14}}{2} \int\limits_{-\pi}^{-\pi/2} \rho^2(\theta) d\theta + \int\limits_{0}^{\pi/2} \rho^2(\theta) d\theta$ = $\frac{25\sqrt{14}}{2}$

Поясните, пожалуйста, почему мы берем ро в квадрате? И откуда берется коэффициент $1/2$, если мы находим площадь обоих симметричных "лепестков", для которой было бы достаточно взять один предел и его значение у множить на 2?

Цитата:

откуда берется коэффициент $1/2$

Это описка (чисто при набивании текста тут на форуме, посчитано все корректно), которую я вчера же заметил и исправил, поставив скобки в нужном месте: множитель $\frac{\sqrt{14}}{2}$ относится к обоим интегралам.

И еще одна описка при набивании формул тут на форуме (сам результат был корректно посчитан): частные производные в подкоренном выражении должны быть возведены в квадрат.

Теперь про "почему ро в квадрате?"

Приведу сначала формулу для площади криволинейного сектора: $S_a^b=\frac{1}{2}\int\limits_{\theta_a}^{\theta_b} \rho^2(\theta) d\theta$

Откуда эта формула получается? Составляется интегральная сумма, где площадь криволинейного сектора аппроксимируется суммой площадей треугольников бесконечно малой площади. Затем выполняется предельный переход к интегралу.

Посчитаем площадь одного такого микро-треугольника из интегральной суммы:

$\rho_1=\rho(\theta_i)+\rho'(\theta_i)\frac{\Delta\theta}{2}$ - сторона 1 треугольника (это отрезок ряда Тейлора)

$\rho_2=\rho(\theta_i)-\rho'(\theta_i)\frac{\Delta\theta}{2}$ - сторона 2 треугольника (это отрезок ряда Тейлора)

$S_i = \frac{1}{2} \rho_1 \rho_2 \sin(\Delta\theta) = \frac{\Delta\theta}{2} \rho_1 \rho_2 = \rho^2(\theta_i)\frac{\Delta\theta}{2}-(\rho'(\theta_i))^2 \frac{\Delta\theta^3}{8}$ - площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними. Учтено, что синус малого угла равен самому углу. Последний член, будучи 3-го порядка малости, отбрасывается. Вот и все!

[Amlg0]

Вчера я также самостоятельно посчитал эту задачу и ответ совпал с Вашим, но, как я уже писал, был не совсем понятен переход. Сейчас вы развеяли мои сомнения по этому поводу) Еще раз спасибо за пояснение!

[Ende]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: темы, в которых нужно что-то объяснить или подсказать в пределах учебных курсов, создаются в этом разделе.