Добить ответ к уравнению с параметром

[WinterPrimat]

Найти $k$, чтоб уравнение имело решения
$\cos\left(kx\right)=1+2\cos^2\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{x}{2}\right)$
Переходим к равносильной системе
$\left\{\begin{matrix} \cos\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{x}{2}\right)=0\\ \cos\left(kx\right)=1 \end{matrix}\right.$
Из первого уравнения:
$x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,n\in\mathbb{Z}$
Подставим полученное во второе, решим и получим:
$k\left(\dfrac{\pi}{2}+2\pi n\right)=2\pi m,\left\{m,n\right\}\subset\mathbb{Z} $
Тогда для $k$ подходят все числа вида $k=\dfrac{4m}{4n+1},\left\{m,n\right\}\subset\mathbb{Z}$
Достаточно легко доказать, что множество значений $k$ бесконечно и счетно.
А вот дальше возникает вопрос.
Рассмотрим $m=n=1$. Тогда $k=\dfrac{4}{5}$.
Решим в цел. числах $\dfrac{4m}{4n+1}=\dfrac{4}{5}$
$\\m=4t+1\\n=5t+1\\t\in\mathbb{Z}$
То есть, у нас есть бесконечно много пар, дающих тот же $k$.
Возможно ли в $k=\dfrac{4m}{4n+1}$ заменить $m$ и $n$ такими функциями от цел. $p$ и $q$, чтоб каждая пара $\left(p,q\right)$ давала различные $k$ без потери значений?
Спасибо.

-- 29.05.2023, 06:00 --

Опечатку в системе исправил
Но теперь запутался в решении

[Shadow]

WinterPrimat в сообщении #1595705 писал(а):

Возможно ли в $k=\dfrac{4m}{4n+1}$ заменить $m$ и $n$ такими функциями от цел. $p$ и $q$, чтоб каждая пара $\left(p,q\right)$ давала различные $k$ без потери значений?

Нет, но можете написать что $k$ - любое рациональное число, числитель которого делится на $4$

[WinterPrimat]

Shadow
Спасибо

-- 29.05.2023, 09:14 --

Я нашел у себя логическую ошибку.
Если корни есть, то они принадлежат множеству $x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,n\in\mathbb{Z}$.
И тогда $k=\cdots$ и т. д. То есть, необходима проверка подстановкой.

[EUgeneUS]

Shadow в сообщении #1595719 писал(а):

Нет, но можете написать что $k$ - любое рациональное число, числитель которого делится на $4$

$4/7$ не подходит, например.
Числитель должен делиться на $4$, а знаменатель равен $1$ по модулю $4$.

Да, Вы правы. Знаменатели $0$ и $2$ по модулю $4$ не подходят, так как сокращаются с числителем. А знаменатели $3$ по модулю $4$ можно на такой же домножить, и получится $1$ по модулю $4$ -- что и нужно.