Задача о встрече по теории вероятностей

[Angul]

Джон и Стив должны были встретиться на явочной квартире между двенадцатью и часом дня, причём каждый выбирал момент прихода наудачу и независимо от другого. Но у Стива часы отстали на полчаса, и он выбрал момент прихода наудачу между половиной первого и половиной второго, а пришедший первым ждал второго до тех пор, пока он не пришел. Найти распределение, среднее и дисперсию времени ожидания.

-- 28.05.2023, 18:13 --

Здравствуйте! Помогите разобраться с задачей. В интернете примеры решения похожих задач, если ждут определенное количество времени до прихода другого. А про нахождение дисперсии времени ожидания вообще найти ничего не могу.

Пока что пришла к этому

[Doctor Boom]

Если найдете распределение, легко найти матожидание и дисперсию

[Alex Krylov]

Что тут сложного?! Считайте площадь пересечения квадрата (где сосредоточено совместное распределение $p(x,y)$) с вот этой областью $\left\lvert y-x \right\rvert<z$ при различных $z$. Это и будет искомая вероятность $P(\left\lvert y-x \right\rvert<z)$

Рассмотрите 3 интервала: $0\leqslant z<1/2$, $1/2\leqslant z<3/2$, $3/2\leqslant z$

Когда получили интегральную функцию распределения вероятности $P(z)$, легко получить соответствующую функцию плотности вероятности, посчитав производную $p(z)=\frac{d}{dz}P(z)$.

Далее считаем матожидание: $m_z=\int\limits_{0}^{3/2}z p(z) dz$ и дисперсию $D_z=\int\limits_{0}^{3/2}(z-m_z)^2 p(z) dz$

[мат-ламер]

Angul в сообщении #1595628 писал(а):

Здравствуйте! Помогите разобраться с задачей.

Неплохо бы для начала разобраться, а что там и с какой целью штрихуется на графике.

[Alex Krylov]

Кстати, матожидание и дисперсию можно высчитать, не считая распределения величины $z$:

$m_z= \int\limits_{}^{}\int\limits_{}^{} \left\lvert y-x \right\rvert p(x,y) dx dy = \int\limits_{1/2}^{3/2}(\int\limits_{0}^{1} \left\lvert y-x \right\rvert dx) dy$

$D_z= \int\limits_{}^{}\int\limits_{}^{} (\left\lvert y-x \right\rvert - m_z)^2 p(x,y) dx dy= \int\limits_{1/2}^{3/2}(\int\limits_{0}^{1} (\left\lvert y-x \right\rvert - m_z)^2 dx) dy$

[Alex Krylov]

Или, если расписать более подробно...

$p_x(x)=\boldsymbol{1}(0 \leqslant x\leqslant 1)$ - плотность вероятности величины $x$
$p_y(y)=\boldsymbol{1}(1/2 \leqslant y\leqslant 3/2)$ - плотность вероятности величины $y$
$p(x,y)=p_x(x) p_y(y)$ - совместная плотность вероятности величин $x,y$ (равна произведению плотностей $p_x(x), p_y(y)$, так как случайные величины $x,y$ независимы.

Здесь $\boldsymbol{1}(\boldsymbol{A})$ - индикаторная функция, равная единице, если $\boldsymbol{A}$ истинно, и нулю в противном случае.

$P(\left\lvert y-x \right\rvert<z) = \underset{\Omega_z}{\int\limits_{}^{}\int\limits_{}^{}} p(x,y) dx dy,\quad \Omega_z =\left\lbrace x,y\in \boldsymbol{R}: \left\lvert y-x \right\rvert<z \right\rbrace$ - интегральная функция распределения времени ожидания

Кратный интеграл сводится к повторному:
$P(\left\lvert y-x \right\rvert<z) =\int\limits_{0}^{1} (\int\limits_{x-z}^{x+z} p(x,y) dy) dx $

Так как в нашем случае $p(x,y)$ равна постоянной величине (единице) в области $ \left\lbrace 0 \leqslant x\leqslant 1, 1/2 \leqslant y\leqslant 3/2 \right\rbrace$ (это квадрат), то все упрощается и сводится, как было сказано ранее, к расчету площадей. А именно, к расчету площади пересечения указанной квадратной области с областью $\Omega_z =\left\lbrace x,y\in \boldsymbol{R}: \left\lvert y-x \right\rvert<z \right\rbrace$ при различных значениях $z$.

[Ende]

Alex Krylov
На этом форуме не принято приводить полные решения учебных задач. Можно подсказывать, подталкивать, задавать наводящие вопросы. Но в итоге вопрошающий должен хоть что-то сделать самостоятельно.

[Alex Krylov]

Ende в сообщении #1595658 писал(а):

Alex Krylov
На этом форуме не принято приводить полные решения учебных задач. Можно подсказывать, подталкивать, задавать наводящие вопросы. Но в итоге вопрошающий должен хоть что-то сделать самостоятельно.

А я специально не даю итоговых результатов расчетов, только путь решения (небезосновательно полагая, что у человека тут есть серьезные пробелы)! Но впредь буду иметь в виду!